Un'introduzione alla curva a campana

Una distribuzione normale è più comunemente nota come curva a campana. Questo tipo di curva si presenta ovunque statistica e il mondo reale.

Ad esempio, dopo aver dato un test in una qualsiasi delle mie lezioni, una cosa che mi piace fare è creare un grafico di tutti i punteggi. In genere scrivo intervalli di 10 punti come 60-69, 70-79 e 80-89, quindi inserisco un punteggio per ogni punteggio del test in quell'intervallo. Quasi ogni volta che lo faccio, emerge una forma familiare. Alcune studenti fare molto bene e alcuni lo fanno molto male. Un mucchio di punteggi finisce raggruppato attorno al punteggio medio. Test diversi possono determinare mezzi e deviazioni standard diversi, ma la forma del grafico è quasi sempre la stessa. Questa forma è comunemente chiamata curva a campana.

Perché chiamarlo una curva a campana? La curva a campana prende il nome semplicemente perché la sua forma ricorda quella di una campana. Queste curve compaiono durante lo studio delle statistiche e la loro importanza non può essere enfatizzata.

Per essere tecnici, i tipi di curve a campana che ci interessano di più nelle statistiche sono in realtà chiamati normali distribuzioni di probabilità. Per quanto segue supponiamo che le curve di campana di cui stiamo parlando siano normali distribuzioni di probabilità. Nonostante il nome di "curva a campana", queste curve non sono definite dalla loro forma. Invece, uno sguardo intimidatorio formula è usato come definizione formale per le curve di campana.

Ma non dobbiamo preoccuparci troppo della formula. Gli unici due numeri che ci interessano sono la media e la deviazione standard. La curva a campana per un dato set di dati ha il centro situato nella media. Questo è dove si trova il punto più alto della curva o "cima della campana". La deviazione standard di un set di dati determina la diffusione della curva a campana. Maggiore è la deviazione standard, più ampia è la curva.

Esistono diverse caratteristiche delle curve a campana che sono importanti e le distingue dalle altre curve nelle statistiche:

• Una curva a campana ha una modalità, che coincide con la media e la mediana. Questo è il centro della curva dove è al suo massimo.
• Una curva a campana è simmetrica. Se fosse piegato lungo una linea verticale nella media, entrambe le metà si abbinerebbero perfettamente perché sono immagini speculari l'una dell'altra.
• Una curva a campana segue la regola 68-95-99.7, che fornisce un modo conveniente per eseguire calcoli stimati:
  • Circa il 68% di tutti i dati si trova all'interno di una deviazione standard della media.
  • Circa il 95% di tutti i dati si trova entro due deviazioni standard della media.
  • Circa il 99,7% dei dati si trova entro tre deviazioni standard della media.

Se sappiamo che una curva a campana modella i nostri dati, possiamo usare le caratteristiche di cui sopra della curva a campana per dire un bel po '. Tornando all'esempio del test, supponiamo di avere 100 studenti che hanno sostenuto un test statistico con un punteggio medio di 70 e una deviazione standard di 10.

La deviazione standard è 10. Sottrai e aggiungi 10 alla media. Questo ci dà 60 e 80. Secondo la regola del 68-95-99.7 ci aspetteremmo che circa il 68% di 100, o 68 studenti segnino tra il 60 e l'80 nel test.

Due volte la deviazione standard è 20. Se sottraggiamo e aggiungiamo 20 alla media abbiamo 50 e 90. Ci aspetteremmo che circa il 95% di 100 o 95 studenti segnino tra il 50 e il 90 nel test.

Un calcolo simile ci dice che effettivamente tutti hanno segnato tra 40 e 100 sul test.

Esistono molte applicazioni per le curve a campana. Sono importanti nelle statistiche perché modellano un'ampia varietà di dati del mondo reale. Come accennato in precedenza, i risultati dei test sono un luogo in cui compaiono. Eccone alcuni altri:

• Misure ripetute di un pezzo di equipaggiamento
• Misure di caratteristiche in biologia
• Eventi casuali approssimativi come lanciare una moneta più volte
• Altezze degli studenti di un determinato livello scolastico in un distretto scolastico

Anche se ci sono innumerevoli applicazioni di curve a campana, non è appropriato utilizzarle in tutte le situazioni. Alcuni insiemi di dati statistici, come guasti alle apparecchiature o distribuzioni di reddito, hanno forme diverse e non sono simmetrici. Altre volte ci possono essere due o più modalità, come quando molti studenti fanno molto bene e molti fanno molto male durante un test. Queste applicazioni richiedono l'uso di altre curve definite diversamente dalla curva a campana. La conoscenza di come è stato ottenuto l'insieme di dati in questione può aiutare a determinare se una curva a campana debba essere utilizzata per rappresentare i dati o meno.