Una domanda naturale da porre su una distribuzione di probabilità è: "Qual è il suo centro?" Il valore atteso è una di queste misurazioni del centro di una distribuzione di probabilità. Poiché misura la media, non dovrebbe sorprendere che questa formula sia derivata da quella della media.
Per stabilire un punto di partenza, dobbiamo rispondere alla domanda "Qual è il valore atteso?" Supponiamo di avere una variabile casuale associata a un esperimento di probabilità. Diciamo che ripetiamo questo esperimento ancora e ancora. Nel lungo periodo di diverse ripetizioni dello stesso esperimento di probabilità, se calcolassimo la media di tutti i nostri valori di variabile casuale, otterremmo il valore atteso.
Di seguito vedremo come utilizzare la formula per il valore atteso. Esamineremo le impostazioni discrete e continue e vedremo le somiglianze e le differenze nelle formule.
La formula per una variabile casuale discreta
Iniziamo analizzando il caso discreto. Data una variabile casuale discreta
X, supponiamo che abbia valori X1, X2, X3,... Xne le rispettive probabilità di p1, p2, p3,... pn. Questo sta dicendo che la funzione di massa di probabilità per questa variabile casuale dà f(Xio) = pio.Il valore atteso di X è dato dalla formula:
E (X) = X1p1 + X2p2 + X3p3 +... + Xnpn.
L'uso della funzione della massa di probabilità e della notazione della somma ci consente di scrivere in modo più compatto questa formula come segue, in cui la somma viene presa sull'indice io:
E (X) = Σ Xiof(Xio).
Questa versione della formula è utile da vedere perché funziona anche quando abbiamo uno spazio di campionamento infinito. Questa formula può anche essere facilmente regolata per il caso continuo.
Un esempio
Lancia una moneta tre volte e lascia X essere il numero di teste. La variabile casuale X è discreto e finito. Gli unici valori possibili che possiamo avere sono 0, 1, 2 e 3. Questo ha una distribuzione di probabilità di 1/8 per X = 0, 3/8 per X = 1, 3/8 per X = 2, 1/8 per X = 3. Utilizzare la formula del valore atteso per ottenere:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
In questo esempio, vediamo che, a lungo termine, calcoleremo in media 1,5 teste di questo esperimento. Questo ha senso con la nostra intuizione in quanto la metà di 3 è 1,5.
La formula per una variabile casuale continua
Passiamo ora a una variabile casuale continua, che indicheremo con X. Lasciamo che la densità di probabilità funzioni X essere dato dalla funzione f(X).
Il valore atteso di X è dato dalla formula:
E (X) = ∫ x f(X) dX.
Qui vediamo che il valore atteso della nostra variabile casuale è espresso come integrale.
Applicazioni del valore atteso
Ci sono molti domande per il valore atteso di una variabile casuale. Questa formula fa un aspetto interessante nel Paradosso di San Pietroburgo.