Come calcolare il coefficiente di correlazione

Ci sono molte domande da porre quando si guarda un diagramma a dispersione. Uno dei più comuni è chiedersi quanto bene una linea retta approssima i dati. Per aiutare a rispondere a questa domanda, esiste una statistica descrittiva chiamata coefficiente di correlazione. Vedremo come calcolare questa statistica.

Il coefficiente di correlazione, denotato da r, ci dice quanto strettamente i dati in a grafico a dispersione cadere lungo una linea retta. Più vicino a quello il valore assoluto di r è uno, meglio è che i dati sono descritti da un'equazione lineare. Se r = 1 o r = -1 quindi il set di dati è perfettamente allineato. Set di dati con valori di r vicino a zero mostra una relazione lineare da piccola a nulla.

A causa dei lunghi calcoli, è meglio calcolare r con l'uso di una calcolatrice o di un software statistico. Tuttavia, è sempre utile cercare di capire cosa sta facendo la calcolatrice durante il calcolo. Quello che segue è un processo per calcolare il coefficiente di correlazione principalmente a mano, con un calcolatore usato per i passi aritmetici di routine.

Inizieremo elencando i passaggi per il calcolo del coefficiente di correlazione. I dati con cui stiamo lavorando sono dati associati, ciascuna delle quali sarà indicata da (X_io, y_io).

1. Iniziamo con alcuni calcoli preliminari. Le quantità di questi calcoli verranno utilizzate nelle fasi successive del nostro calcolo di r:
   1. Calcola x̄, il significare di tutte le prime coordinate dei dati X_io.
   2. Calcola ȳ, la media di tutte le seconde coordinate dei dati
   3. y_io.
   4. Calcolare S _X il campione deviazione standard di tutte le prime coordinate dei dati X_io.
   5. Calcolare S _y la deviazione standard del campione di tutte le seconde coordinate dei dati y_io.
2. Usa la formula (z_X)_io = (X_io - X) / S _X e calcolare un valore standardizzato per ciascuno X_io.
3. Usa la formula (z_y)_io = (y_io – ȳ) / S _y e calcolare un valore standardizzato per ciascuno y_io.
4. Moltiplicare i valori standardizzati corrispondenti: (z_X)_io(z_y)_io
5. Aggiungi i prodotti dall'ultimo passaggio insieme.
6. Dividi la somma dal passaggio precedente per n - 1, dove n è il numero totale di punti nella nostra serie di dati associati. Il risultato di tutto ciò è il coefficiente di correlazione r.

Questo processo non è difficile e ogni passaggio è abbastanza di routine, ma la raccolta di tutti questi passaggi è piuttosto complicata. Il calcolo della deviazione standard è abbastanza noioso da solo. Ma il calcolo del coefficiente di correlazione comporta non solo due deviazioni standard, ma una moltitudine di altre operazioni.

Per vedere esattamente come il valore di r si ottiene guardiamo un esempio. Ancora una volta, è importante notare che per applicazioni pratiche vorremmo usare la nostra calcolatrice o software statistico per calcolare r per noi.

Iniziamo con un elenco di dati associati: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). La media di X valori, la media di 1, 2, 4 e 5 è x̄ = 3. Abbiamo anche che ȳ = 4. La deviazione standard di

X i valori sono S_X = 1,83 e S_y = 2.58. La tabella seguente riassume gli altri calcoli necessari per r. La somma dei prodotti nella colonna più a destra è 2.969848. Dato che ci sono un totale di quattro punti e 4 - 1 = 3, dividiamo la somma dei prodotti per 3. Questo ci dà un coefficiente di correlazione di r = 2.969848/3 = 0.989949.