Quali sono le funzioni di crescita esponenziale?

Le funzioni esponenziali raccontano storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono la crescita esponenziale e decadimento esponenziale. Quattro variabili (variazione percentuale, tempo, importo all'inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo) svolgono ruoli in funzioni esponenziali. Quanto segue si concentra sull'uso delle funzioni di crescita esponenziale per fare previsioni.

La crescita esponenziale è il cambiamento che si verifica quando un importo originale viene aumentato di un tasso costante per un periodo di tempo

Usi della crescita esponenziale nella vita reale:

• Valori dei prezzi delle case
• Valori degli investimenti
• Maggiore appartenenza a un popolare sito di social network

Edloe and Co. si affida alla pubblicità passaparola, il social network originale. Cinquanta acquirenti hanno detto ciascuno a cinque persone, quindi ciascuno di questi nuovi acquirenti ha detto a altre cinque persone e così via. Il gestore ha registrato la crescita degli acquirenti di negozi.

• Settimana 0: 50 clienti
• Settimana 1: 250 clienti
• Settimana 2: 1.250 acquirenti
• Settimana 3: 6.250 acquirenti
• Settimana 4: 31.250 clienti

Innanzitutto, come fai a sapere che questi dati rappresentano crescita esponenziale? Ponetevi due domande.

1. I valori stanno aumentando? sì
2. I valori mostrano un consistente aumento percentuale? sì.

Aumento percentuale: (Più recente - Più vecchio) / (Più vecchio) = (250-50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Verifica che l'aumento percentuale persista per tutto il mese:

Aumento percentuale: (Più recente - Più vecchio) / (Più vecchio) = (1.250 - 250) / 250 = 4.00 = 400%
Aumento percentuale: (Più recente - Più vecchio) / (Più vecchio) = (6.250 - 1.250) / 1.250 = 4,00 = 400%

Attento: non confondere la crescita esponenziale e lineare.

Quanto segue rappresenta una crescita lineare:

• Settimana 1: 50 acquirenti
• Settimana 2: 50 acquirenti
• Settimana 3: 50 acquirenti
• Settimana 4: 50 acquirenti

Nota: Crescita lineare significa un numero consistente di clienti (50 acquirenti a settimana); crescita esponenziale significa un consistente aumento percentuale (400%) dei clienti.

Ecco una funzione di crescita esponenziale:

y = un(1 + b)^X

• y: Importo finale rimanente per un periodo di tempo
• un': L'importo originale
• X: Tempo
• Il fattore di crescita è (1 + B).
• La variabile, B, è la variazione percentuale in forma decimale.

Riempi gli spazi vuoti:

• un' = 50 acquirenti
• B = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Nota: Non inserire valori per X e y. I valori di X e y cambierà durante la funzione, ma la quantità originale e la variazione percentuale rimarranno costanti.

Supponiamo che la recessione, il principale driver degli acquirenti nel negozio, persista per 24 settimane. Quanti clienti settimanali avrà il negozio durante l'8^esimo settimana?

Attenzione, non raddoppiare il numero di acquirenti nella settimana 4 (31.250 * 2 = 62.500) e credere che sia la risposta corretta. Ricorda, questo articolo riguarda la crescita esponenziale, non la crescita lineare.

Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parentesi)

y = 50 (390.625) (esponente)

y = 19.531.250 (moltiplicare)

19.531.250 clienti

Prima dell'inizio della recessione, le entrate mensili del negozio si aggiravano intorno a $ 800.000. Un negozio reddito è l'importo totale in dollari che i clienti spendono nel negozio per beni e servizi.

Entrate di Edloe and Co.

• Prima della recessione: $ 800.000
• 1 mese dopo la recessione: $ 880.000
• 2 mesi dopo la recessione: $ 968.000
• 3 mesi dopo la recessione: $ 1.171.280
• 4 mesi dopo la recessione: $ 1.288.408

Usa le informazioni sulle entrate di Edloe and Co per completare da 1 a 7.

1. Quali sono i ricavi originali?
2. Qual è il fattore di crescita?
3. In che modo questo dato modella la crescita esponenziale?
4. Scrivi una funzione esponenziale che descriva questi dati.
5. Scrivi una funzione per prevedere le entrate nel quinto mese dopo l'inizio della recessione.
6. Quali sono i ricavi nel quinto mese dopo l'inizio del recessione?
7. Supponiamo che il dominio di questa funzione esponenziale sia di 16 mesi. In altre parole, supponiamo che la recessione durerà per 16 mesi. A che punto i ricavi supereranno i 3 milioni di dollari?