Qual è l'asimmetria di una distribuzione esponenziale?

Comune parametri per distribuzione di probabilità include la media e la deviazione standard. La media fornisce una misurazione del centro e la deviazione standard indica quanto è diffusa la distribuzione. Oltre a questi parametri ben noti, ce ne sono altri che attirano l'attenzione su funzioni diverse dalla diffusione o dal centro. Una di queste misure è quella di asimmetria. L'asimmetria consente di associare un valore numerico all'asimmetria di una distribuzione.

Una distribuzione importante che esamineremo è la distribuzione esponenziale. Vedremo come dimostrare che l'asimmetria di una distribuzione esponenziale è 2.

Iniziamo affermando la funzione di densità di probabilità per una distribuzione esponenziale. Queste distribuzioni hanno ciascuna un parametro, che è correlato al parametro dal relativo Processo di Poisson. Indichiamo questa distribuzione come Exp (A), dove A è il parametro. La funzione di densità di probabilità per questa distribuzione è:

f(X) = e^-X/UN/ A, dove X non è negativo.

Qui e è il matematico costante e cioè circa 2.718281828. La deviazione media e standard della distribuzione esponenziale Exp (A) sono entrambe correlate al parametro A. In effetti, la media e la deviazione standard sono entrambe uguali ad A.

L'asimmetria è definita da un'espressione correlata al terzo momento sulla media. Questa espressione è il valore atteso:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Sostituiamo μ e σ con A, e il risultato è che l'asimmetria è E [X³] / A³ – 4.

Non resta che calcolare il terzo momento sull'origine. Per questo dobbiamo integrare quanto segue:

∫^∞₀X³f(X) dX.

Questo integrale ha un infinito per uno dei suoi limiti. Quindi può essere valutato come integrale improprio di tipo I. Dobbiamo anche determinare quale tecnica di integrazione utilizzare. Poiché la funzione da integrare è il prodotto di una funzione polinomiale ed esponenziale, dovremmo utilizzarla integrazione per parti. Questa tecnica di integrazione viene applicata più volte. Il risultato finale è che:

EX³] = 6A³

Quindi combiniamo questo con la nostra equazione precedente per l'asimmetria. Vediamo che l'asimmetria è 6 - 4 = 2.

È importante notare che il risultato è indipendente dalla specifica distribuzione esponenziale con cui iniziamo. L'asimmetria della distribuzione esponenziale non si basa sul valore del parametro A.

Inoltre, vediamo che il risultato è un'asimmetria positiva. Ciò significa che la distribuzione è inclinata a destra. Ciò non dovrebbe sorprendere se pensiamo alla forma del grafico della funzione di densità di probabilità. Tutte queste distribuzioni hanno intercetta y come 1 // theta e una coda che va all'estrema destra del grafico, corrispondente ai valori alti della variabile X.

Naturalmente, dovremmo anche menzionare che esiste un altro modo per calcolare l'asimmetria. Possiamo utilizzare la funzione di generazione del momento per la distribuzione esponenziale. Il primo derivato di funzione generatrice del momento valutato a 0 ci dà E [X]. Allo stesso modo, la terza derivata della funzione generatrice del momento quando valutata a 0 ci dà E (X³].