Statistica matematica utilizza tecniche di vari rami della matematica per dimostrare definitivamente che le affermazioni riguardanti le statistiche sono vere. Vedremo come utilizzare il calcolo per determinare i valori sopra menzionati sia del valore massimo di distribuzione chi-quadro, che corrisponde alla sua modalità, oltre a trovare i punti di flesso del distribuzione.
Prima di fare ciò, discuteremo le caratteristiche dei massimi e dei punti di flesso in generale. Esamineremo anche un metodo per calcolare un massimo dei punti di flesso.
Come calcolare una modalità con calcolo
Per un set discreto di dati, la modalità è il valore più frequente. Su un istogramma dei dati, questo sarebbe rappresentato dalla barra più alta. Una volta che conosciamo la barra più alta, esaminiamo il valore dei dati che corrisponde alla base per questa barra. Questa è la modalità per il nostro set di dati.
La stessa idea viene utilizzata nel lavorare con una distribuzione continua. Questa volta per trovare la modalità, cerchiamo il picco più alto nella distribuzione. Per un grafico di questa distribuzione, l'altezza del picco è un valore y. Questo valore y è chiamato massimo per il nostro grafico perché il valore è maggiore di qualsiasi altro valore y. La modalità è il valore lungo l'asse orizzontale che corrisponde a questo valore y massimo.
Anche se possiamo semplicemente guardare un grafico di una distribuzione per trovare la modalità, ci sono alcuni problemi con questo metodo. La nostra precisione è buona solo quanto il nostro grafico e probabilmente dovremo stimare. Inoltre, potrebbero esserci difficoltà nel rappresentare graficamente la nostra funzione.
Un metodo alternativo che non richiede grafici è l'uso del calcolo. Il metodo che useremo è il seguente:
- Inizia con la funzione di densità di probabilità f (X) per la nostra distribuzione.
- Calcola il primo e il secondo derivati di questa funzione: f '(X) e f ''(X)
- Impostare questa prima derivata uguale a zero f '(X) = 0.
- Risolvere per X.
- Inserire i valori del passaggio precedente nella seconda derivata e valutare. Se il risultato è negativo, allora abbiamo un massimo locale al valore x.
- Valuta la nostra funzione f (X) in tutti i punti X dal passaggio precedente.
- Valuta la funzione di densità di probabilità su tutti gli endpoint del suo supporto. Quindi se la funzione ha un dominio dato dall'intervallo chiuso [a, b], quindi valutare la funzione agli endpoint un' e b.
- Il valore più grande nei passaggi 6 e 7 sarà il massimo assoluto della funzione. Il valore x in cui si verifica questo massimo è la modalità di distribuzione.
Modalità di distribuzione Chi-Square
Ora passiamo attraverso i passaggi sopra per calcolare la modalità di distribuzione chi-quadro con r gradi di libertà. Iniziamo con la funzione di densità di probabilità f(X) che viene visualizzato nell'immagine in questo articolo.
f (X) = K Xr / 2-1e-x / 2
Qui K è una costante che coinvolge il funzione gamma e una potenza di 2. Non abbiamo bisogno di conoscere i dettagli (tuttavia possiamo fare riferimento alla formula nell'immagine per questi).
La prima derivata di questa funzione è data usando il regola del prodotto così come il regola di derivazione:
f '( X ) = K (r / 2 - 1)Xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) Xr / 2-1e-x / 2
Impostiamo questa derivata uguale a zero e fattorizziamo l'espressione sul lato destro:
0 = K xr / 2-1e-x / 2 [(r / 2 - 1)X-1- 1/2]
Dal momento che la costante K, il funzione esponenziale e Xr / 2-1 sono tutti diversi da zero, possiamo dividere entrambi i lati dell'equazione per queste espressioni. Abbiamo quindi:
0 = (r / 2 - 1)X-1- 1/2
Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 2:
0 = (r - 2)X-1- 1
Quindi 1 = (r - 2)X-1e concludiamo avendo x = r - 2. Questo è il punto lungo l'asse orizzontale in cui si verifica la modalità. Indica il X valore del picco della nostra distribuzione chi-quadro.
Come trovare un punto di flesso con il calcolo
Un'altra caratteristica di una curva riguarda il modo in cui curva. Parti di una curva possono essere concava verso l'alto, come una U maiuscola. Le curve possono anche essere concave verso il basso e modellate come una intersezione simbolo ∩. Laddove la curva cambia da concava in basso a concava in alto, o viceversa, abbiamo un punto di flesso.
La seconda derivata di una funzione rileva la concavità del grafico della funzione. Se la seconda derivata è positiva, la curva è concava verso l'alto. Se la seconda derivata è negativa, la curva è concava verso il basso. Quando la seconda derivata è uguale a zero e il grafico della funzione cambia concavità, abbiamo un punto di flesso.
Per trovare i punti di flesso di un grafico noi:
- Calcola la seconda derivata della nostra funzione f ''(X).
- Impostare questa seconda derivata uguale a zero.
- Risolvi l'equazione dal passaggio precedente per X.
Punti di flesso per la distribuzione Chi-Square
Ora vediamo come lavorare attraverso i passaggi precedenti per la distribuzione chi-quadro. Iniziamo differenziando. Da questo lavoro abbiamo visto che la prima derivata per la nostra funzione è:
f '(X) = K (r / 2 - 1) Xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) Xr / 2-1e-x / 2
Ci differenziamo di nuovo, usando due volte la regola del prodotto. Abbiamo:
f ''( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Xr / 2-3e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1)Xr / 2-2e-x / 2 + (K / 4) Xr / 2-1e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1) Xr / 2-2e-x / 2
Impostiamo questo uguale a zero e dividiamo entrambi i lati per Ke-x / 2
0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Xr / 2-3- (1/2) (r / 2 - 1)Xr / 2-2+ (1/ 4) Xr / 2-1- (1/ 2)(r/2 - 1) Xr / 2-2
Combinando termini simili abbiamo:
(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)Xr / 2-3- (r / 2 - 1)Xr / 2-2+ (1/ 4) Xr / 2-1
Moltiplica entrambi i lati per 4X3 - r / 2, questo ci dà:
0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X+ X2.
La formula quadratica può ora essere utilizzata per risolvere X.
X = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)2 - 4 (r - 2) (r - 4)]1/2]/2
Espandiamo i termini che vengono portati a 1/2 potenza e vediamo quanto segue:
(4r2 -16r + 16) - 4 (r2 -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)
Ciò significa che:
X = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]1/2
Da ciò vediamo che ci sono due punti di flesso. Inoltre, questi punti sono simmetrici rispetto alla modalità di distribuzione in quanto (r - 2) è a metà strada tra i due punti di flesso.
Conclusione
Vediamo come entrambe queste caratteristiche sono correlate al numero di gradi di libertà. Possiamo usare queste informazioni per aiutare a disegnare una distribuzione chi-quadro. Possiamo anche confrontare questa distribuzione con altre, come la distribuzione normale. Possiamo vedere che i punti di flesso per una distribuzione chi-quadro si verificano in luoghi diversi rispetto a punti di flesso per la distribuzione normale.