Qual è il valore atteso in probabilità?

Sei a un carnevale e vedi una partita. Per $ 2 si lancia un dado a sei facce standard. Se il numero visualizzato è un sei, vinci $ 10, altrimenti non vinci nulla. Se stai cercando di fare soldi, è nel tuo interesse giocare? Per rispondere a una domanda come questa abbiamo bisogno del concetto di valore atteso.

Il valore atteso può davvero essere pensato come la media di una variabile casuale. Ciò significa che se hai eseguito ripetutamente un esperimento di probabilità, tenendo traccia dei risultati, il valore atteso è il media di tutti i valori ottenuti. Il valore atteso è ciò che dovresti prevedere accadendo nel lungo periodo di molte prove di un gioco d'azzardo.

Il gioco del carnevale sopra menzionato è un esempio di una variabile casuale discreta. La variabile non è continua e ogni risultato ci arriva in un numero che può essere separato dagli altri. Per trovare il valore atteso di un gioco che ha esiti X₁, X₂,..., X_n con probabilità p₁, p₂,... , p_n, calcola:

X₁p₁ + X₂p₂ +... + X_np_n.

Per il gioco sopra, hai una probabilità 5/6 di non vincere nulla. Il valore di questo risultato è -2 poiché hai speso $ 2 per giocare. Un sei ha una probabilità 1/6 di apparire e questo valore ha un risultato di 8. Perché 8 e non 10? Ancora una volta dobbiamo tenere conto dei $ 2 che abbiamo pagato per giocare e 10 - 2 = 8.

Ora collega questi valori e probabilità al previsto formula del valore e finisce con: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Ciò significa che nel lungo periodo, dovresti aspettarti di perdere in media circa 33 centesimi ogni volta che giochi a questo gioco. Sì, a volte vincerai. Ma perderai più spesso.

Supponiamo ora che il gioco del carnevale sia stato leggermente modificato. Per la stessa quota di iscrizione di $ 2, se il numero visualizzato è un sei, allora vinci $ 12, altrimenti non vinci nulla. Il valore atteso di questo gioco è -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. A lungo termine, non perderai denaro, ma non ne vincerai. Non aspettarti di vedere una partita con questi numeri al tuo carnevale locale. Se a lungo termine non perderai denaro, il carnevale non ne guadagnerà.

Ora vai al casinò. Come in precedenza, possiamo calcolare il valore atteso dei giochi d'azzardo come la roulette. Negli Stati Uniti una ruota della roulette ha 38 slot numerati da 1 a 36, ​​0 e 00. La metà di 1-36 è rossa, la metà è nera. Sia 0 che 00 sono verdi. Una palla atterra casualmente in una delle fessure e le scommesse vengono piazzate su dove la pallina atterrerà.

Una delle scommesse più semplici è scommettere sul rosso. Qui se scommetti $ 1 e la pallina si ferma su un numero rosso nella ruota, allora vincerai $ 2. Se la palla atterra su uno spazio nero o verde nella ruota, allora non vinci nulla. Qual è il valore atteso su una scommessa come questa? Dato che ci sono 18 spazi rossi, c'è una probabilità di vincita 18/38, con un guadagno netto di $ 1. C'è una probabilità 20/38 di perdere la scommessa iniziale di $ 1. Il valore atteso di questa scommessa in roulette è 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, che è di circa 5,3 centesimi. Qui la casa ha un leggero vantaggio (come con tutti i giochi da casinò).

Come altro esempio, considera a lotteria. Sebbene milioni possano essere vinti al prezzo di un biglietto da $ 1, il valore atteso di un gioco della lotteria mostra quanto sia ingiustamente costruito. Supponiamo che per $ 1 scegli sei numeri da 1 a 48. La probabilità di scegliere correttamente tutti e sei i numeri è 1 / 12.271.512. Se vinci $ 1 milione per ottenere tutti e sei corretti, qual è il valore atteso da questa lotteria? I valori possibili sono - $ 1 per perdere e $ 999.999 per vincere (ancora una volta dobbiamo tenere conto del costo da giocare e sottrarlo dalle vincite). Questo ci dà un valore atteso di:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Quindi, se dovessi giocare alla lotteria più e più volte, alla lunga perdi circa 92 centesimi - quasi tutto il prezzo del biglietto - ogni volta che giochi.

Tutti gli esempi precedenti sembrano discreti variabile casuale. Tuttavia, è possibile definire anche il valore atteso per una variabile casuale continua. Tutto ciò che dobbiamo fare in questo caso è sostituire la somma nella nostra formula con un integrale.

È importante ricordare che il valore atteso è la media dopo molte prove di a processo casuale. A breve termine, la media di una variabile casuale può variare in modo significativo dal valore atteso.