Calcoli con la funzione gamma

Il funzione gamma è definito dalla seguente formula dall'aspetto complicato:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Una domanda che le persone hanno quando incontrano per la prima volta questa equazione confusa è: “Come usi questa formula per calcolare i valori di funzione gamma? " Questa è una domanda importante in quanto è difficile sapere cosa significhi anche questa funzione e cosa significano tutti i simboli per.

Un modo per rispondere a questa domanda è guardare diversi calcoli di esempio con la funzione gamma. Prima di farlo, ci sono alcune cose dal calcolo che dobbiamo sapere, come come integrare un integrale improprio di tipo I e che e è una costante matematica.

Prima di fare qualsiasi calcolo, esaminiamo la motivazione alla base di questi calcoli. Molte volte le funzioni gamma vengono visualizzate dietro le quinte. Diverse funzioni di densità di probabilità sono dichiarate in termini di funzione gamma. Esempi di questi includono la distribuzione gamma e la distribuzione t degli studenti. L'importanza della funzione gamma non può essere sopravvalutata.

Il primo esempio di calcolo che studieremo è trovare il valore della funzione gamma per Γ (1). Questo si trova impostando z = 1 nella formula sopra:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Calcoliamo l'integrale sopra in due passaggi:

• L'integrale indefinito ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Questo è un integrale improprio, quindi abbiamo ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Il prossimo esempio di calcolo che prenderemo in considerazione è simile all'ultimo esempio, ma aumentiamo il valore di z di 1. Ora calcoliamo il valore della funzione gamma per Γ (2) impostando z = 2 nella formula sopra. I passaggi sono gli stessi di cui sopra:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

L'integrale indefinito ∫TE ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Anche se abbiamo solo aumentato il valore di z di 1, ci vuole più lavoro per calcolare questo integrale. Per trovare questo integrale, dobbiamo usare una tecnica di calcolo nota come integrazione per parti. Ora utilizziamo i limiti di integrazione come sopra e dobbiamo calcolare:

lim_{b → ∞}- essere ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Un risultato del calcolo noto come regola di L’Ospedale ci consente di calcolare il limite lim_{b → ∞}- essere ^{- b} = 0. Ciò significa che il valore del nostro integrale sopra è 1.

Un'altra caratteristica della funzione gamma e una che la collega a fattoriale è la formula Γ (z +1 ) =zΓ (z ) per z qualsiasi numero complesso con un positivo vero parte. Il motivo per cui questo è vero è il risultato diretto della formula per la funzione gamma. Usando l'integrazione per parti possiamo stabilire questa proprietà della funzione gamma.