Calcolo della coppia con esempi

Quando si studia come ruotano gli oggetti, diventa rapidamente necessario capire come una determinata forza si traduca in un cambiamento nel movimento di rotazione. Viene chiamata la tendenza di una forza a causare o modificare il movimento di rotazione momento torcenteed è uno dei concetti più importanti da comprendere nella risoluzione di situazioni di movimento rotazionale.

La coppia (chiamata anche momento - principalmente dagli ingegneri) viene calcolata moltiplicando forza e distanza. Il Unità SI di coppia sono Newton-metro o N * m (anche se queste unità sono uguali a Joule, la coppia non è lavoro o energia, quindi dovrebbe essere solo Newton-metro).

Nei calcoli, la coppia è rappresentata dalla lettera greca tau: τ.

La coppia è a vettore quantità, nel senso che ha sia una direzione che una grandezza. Questa è onestamente una delle parti più difficili di lavorare con la coppia perché è calcolata usando un prodotto vettoriale, il che significa che devi applicare la regola della mano destra. In questo caso, prendi la mano destra e arriccia le dita della mano nella direzione di rotazione causata dalla forza. Il pollice della mano destra ora punta nella direzione del vettore della coppia. (Questo a volte può sembrare un po 'sciocco, mentre stai alzando la mano e pantomimi per farlo capire il risultato di un'equazione matematica, ma è il modo migliore per visualizzare la direzione di vettore.)

La formula del vettore che produce il vettore della coppia τ è:

τ = r × F

Il vettore r è il vettore di posizione rispetto a un'origine sull'asse di rotazione (Questo asse è il τ sul grafico). Questo è un vettore con una grandezza della distanza da dove viene applicata la forza all'asse di rotazione. Punta dall'asse di rotazione verso il punto in cui viene applicata la forza.

L'entità del vettore viene calcolata in base a θ, che è la differenza di angolo tra r e F, usando la formula:

τ = rFpeccato(θ)

Un paio di punti chiave sull'equazione sopra, con alcuni valori di riferimento di θ:

• θ = 0 ° (o 0 radianti) - Il vettore della forza sta puntando nella stessa direzione di r. Come puoi immaginare, questa è una situazione in cui la forza non provoca alcuna rotazione attorno all'asse... e la matematica lo conferma. Poiché sin (0) = 0, questa situazione si traduce in τ = 0.
• θ = 180 ° (o π radianti) - Questa è una situazione in cui il vettore di forza punta direttamente in r. Ancora una volta, spingersi verso l'asse di rotazione non provocherà alcuna rotazione e, ancora una volta, la matematica supporta questa intuizione. Poiché sin (180 °) = 0, il valore della coppia è di nuovo τ = 0.
• θ = 90 ° (o π/ 2 radianti) - Qui, il vettore di forza è perpendicolare al vettore di posizione. Questo sembra il modo più efficace per spingere l'oggetto per ottenere un aumento della rotazione, ma la matematica lo supporta? Bene, sin (90 °) = 1, che è il valore massimo che la funzione seno può raggiungere, ottenendo un risultato di τ = rF. In altre parole, una forza applicata a qualsiasi altro angolo fornirebbe una coppia inferiore rispetto a quando viene applicata a 90 gradi.
• Lo stesso argomento di cui sopra si applica ai casi di θ = -90 ° (o -π/ 2 radianti), ma con un valore di sin (-90 °) = -1 che determina la coppia massima nella direzione opposta.

Consideriamo un esempio in cui si applica una forza verticale verso il basso, ad esempio quando si tenta di allentare i dadi delle alette su una gomma a terra calpestando la chiave ad alette. In questa situazione, la situazione ideale è quella di avere la chiave ad alette perfettamente orizzontale, in modo da poter calpestarla e ottenere la coppia massima. Sfortunatamente, non funziona. Invece, la chiave ad alette si inserisce sui dadi ad alette in modo che abbia un'inclinazione del 15% rispetto all'orizzontale. La chiave inglese è lunga 0,60 m fino alla fine, dove si applica l'intero peso di 900 N.

Qual è l'entità della coppia?

Che dire della direzione ?: Applicando la regola "mancino-sciolto, giusto-stretto", vorrai far ruotare il dado a risvolto verso sinistra - in senso antiorario - per allentarlo. Usando la mano destra e arriccia le dita in senso antiorario, il pollice sporge. Quindi la direzione della coppia è lontana dalle gomme... che è anche la direzione in cui vuoi che i dadi a testa cilindrica vadano alla fine.

Per iniziare a calcolare il valore della coppia, devi capire che c'è un punto leggermente fuorviante nell'impostazione sopra. (Questo è un problema comune in queste situazioni.) Si noti che il 15% sopra menzionato è l'inclinazione dall'orizzontale, ma non è l'angolo θ. L'angolo tra r e F deve essere calcolato. C'è un'inclinazione di 15 ° dall'orizzontale più una distanza di 90 ° dall'orizzontale al vettore della forza verso il basso, risultando per un totale di 105 ° come valore di θ.

Questa è l'unica variabile che richiede l'impostazione, quindi con quella in atto assegniamo solo i valori delle altre variabili:

• θ = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

τ = rF peccato(θ) =
(0,60 m) (900 N) sin (105 °) = 540 × 0,097 Nm = 520 Nm

Si noti che la risposta sopra ha comportato il mantenimento di solo due figure significative, quindi è arrotondato.

Le equazioni di cui sopra sono particolarmente utili quando esiste una singola forza nota che agisce su un oggetto, ma ci sono molte situazioni in cui una rotazione può essere causata da una forza che non può essere facilmente misurata (o forse molte di queste forze). Qui, la coppia spesso non viene calcolata direttamente, ma può invece essere calcolata in riferimento al totale accelerazione angolare, α, che l'oggetto subisce. Questa relazione è data dalla seguente equazione:

• Στ - La somma netta di tutta la coppia che agisce sull'oggetto
• io - il momento d'inerzia, che rappresenta la resistenza dell'oggetto a un cambiamento nella velocità angolare
• α - accelerazione angolare