Non tutti gli insiemi infiniti sono uguali. Un modo per distinguere tra questi insiemi è chiedere se l'insieme è numerabile infinito o no. In questo modo, diciamo che infiniti insiemi sono numerabili o non numerabili. Prenderemo in considerazione diversi esempi di insiemi infiniti e determineremo quali di questi non sono numerabili.
Infinitamente numerabile
Iniziamo escludendo diversi esempi di insiemi infiniti. Molti degli insiemi infiniti a cui penseremmo immediatamente vengono trovati infinitamente numerabili. Ciò significa che possono essere inseriti in una corrispondenza uno a uno con i numeri naturali.
I numeri naturali, i numeri interi e i numeri razionali sono tutti infinitamente numerabili. È possibile contare anche qualsiasi unione o intersezione di insiemi numerabili infiniti. Il prodotto cartesiano di qualsiasi numero di set numerabili è numerabile. Qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è anche numerabile.
uncountable
Il modo più comune in cui vengono introdotti insiemi non numerabili è quello di considerare l'intervallo (0, 1) di
numeri reali. Da questo fatto, e la funzione one-to-one f( X ) = bx + un'. è un corollario semplice mostrare che qualsiasi intervallo (un', B) di numeri reali è innumerevolmente infinito.Anche l'intera serie di numeri reali non è numerabile. Un modo per dimostrarlo è utilizzare la funzione tangente uno a uno f ( X ) = abbronzatura X. Il dominio di questa funzione è l'intervallo (-π / 2, π / 2), un insieme non numerabile e l'intervallo è l'insieme di tutti i numeri reali.
Altri insiemi non numerabili
Le operazioni della teoria degli insiemi di base possono essere utilizzate per produrre più esempi di insiemi infiniti infiniti:
- Se UN è un sottoinsieme di B e UN è numerabile, quindi lo è anche B. Ciò fornisce una prova più semplice che l'intera serie di numeri reali non è numerabile.
- Se UN è numerabile e B è un insieme qualsiasi, quindi l'unione UN U B è anche numerabile.
- Se UN è numerabile e B è un set qualsiasi, quindi il prodotto cartesiano UN X B è anche numerabile.
- Se UN è infinito (anche numerabile infinito) quindi il set di alimentazione di UN è numerabile.
Altri due esempi, collegati tra loro, sono in qualche modo sorprendenti. Non tutti i sottogruppi dei numeri reali sono infinitamente numerabili (in effetti, i numeri razionali formano un sottoinsieme numerabile dei reali che è anche denso). Alcuni sottoinsiemi sono infinitamente innumerevoli.
Uno di questi sottoinsiemi infiniti infiniti comporta alcuni tipi di espansioni decimali. Se scegliamo due numeri e formiamo ogni possibile espansione decimale con solo queste due cifre, allora l'insieme infinito risultante non è numerabile.
Un altro set è più complicato da costruire ed è anche non numerabile. Inizia con l'intervallo chiuso [0,1]. Rimuovere il terzo medio di questo set, risultando in [0, 1/3] U [2/3, 1]. Ora rimuovi il terzo medio di ciascuno dei pezzi rimanenti del set. Quindi (1/9, 2/9) e (7/9, 8/9) vengono rimossi. Continuiamo in questo modo. L'insieme di punti che rimangono dopo che tutti questi intervalli sono stati rimossi non è un intervallo, tuttavia è innumerevolmente infinito. Questo set si chiama Cantor Set.
Esistono infiniti insiemi non numerabili, ma gli esempi sopra riportati sono alcuni degli insiemi più comuni.