Probabilità e dadi bugiardo

Molti giochi d'azzardo possono essere analizzati usando la matematica della probabilità. In questo articolo, esamineremo vari aspetti del gioco chiamato Dadi bugiardo. Dopo aver descritto questo gioco, calcoleremo le probabilità ad esso correlate.

Il gioco di Liar’s Dice è in realtà una famiglia di giochi che coinvolge bluff e inganno. Esistono diverse varianti di questo gioco, che ha diversi nomi come Pirate's Dice, Deception e Dudo. Una versione di questo gioco è stata descritta nel film Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

Nella versione del gioco che esamineremo, ogni giocatore ha una coppa e un set dello stesso numero di dadi. I dadi sono dadi standard a sei facce numerati da uno a sei. Tutti tirano i loro dadi, mantenendoli coperti dalla tazza. Al momento opportuno, un giocatore guarda la sua serie di dadi, tenendoli nascosti a tutti gli altri. Il gioco è progettato in modo tale che ogni giocatore abbia una perfetta conoscenza del proprio set di dadi, ma non abbia conoscenza degli altri dadi che sono stati lanciati.

Dopo che tutti hanno avuto l'opportunità di guardare i loro dadi lanciati, le offerte iniziano. Ad ogni turno un giocatore ha due scelte: fare un'offerta più alta o chiamare una bugia l'offerta precedente. Le offerte possono essere aumentate offrendo un valore di dado maggiore da uno a sei, oppure offrendo un numero maggiore dello stesso valore di dado.

Ad esempio, un'offerta di "Tre due" potrebbe essere aumentata dichiarando "Quattro due". Potrebbe anche essere aumentato dicendo "Tre tre". In generale, né il numero di dadi né i valori dei dadi possono diminuire.

Poiché la maggior parte dei dadi è nascosta alla vista, è importante sapere come calcolare alcune probabilità. Sapendo questo è più facile vedere quali offerte sono verosimilmente vere e quali sono probabilmente bugie.

La prima considerazione è di chiedere: "Quanti dadi dello stesso tipo ci aspetteremmo?" Ad esempio, se lanciamo cinque dadi, quanti di questi ci aspetteremmo di essere due? La risposta a questa domanda usa l'idea di valore atteso.

Il valore atteso di una variabile casuale è la probabilità di un valore particolare, moltiplicata per questo valore.

La probabilità che il primo dado sia un due è 1/6. Dato che i dadi sono indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità che uno di essi sia due è 1/6. Ciò significa che il numero previsto di due lanciati è 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Naturalmente, non c'è niente di speciale nel risultato di due. Né c'è qualcosa di speciale nel numero di dadi che abbiamo considerato. Se rotolassimo n dadi, quindi il numero previsto di uno dei sei possibili esiti è n/6. Questo numero è utile da sapere perché ci fornisce una base da utilizzare per mettere in discussione le offerte fatte da altri.

Ad esempio, se stiamo giocando i dadi del bugiardo con sei dadi, il valore atteso di uno dei valori da 1 a 6 è 6/6 = 1. Ciò significa che dovremmo essere scettici se qualcuno offre più di uno di qualsiasi valore. A lungo termine, calcoleremmo una media di ciascuno dei possibili valori.

Supponiamo che lanciamo cinque dadi e vogliamo trovare la probabilità di tirare due tre. La probabilità che un dado sia un tre è 1/6. La probabilità che un dado non sia tre è 5/6. I tiri di questi dadi sono eventi indipendenti, quindi moltiplichiamo le probabilità insieme usando il regola di moltiplicazione.

La probabilità che i primi due dadi siano tre e gli altri dadi non siano tre è data dal seguente prodotto:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

I primi due dadi essendo tre sono solo una possibilità. I dadi a tre potrebbero essere due qualsiasi dei cinque dadi che lanciamo. Indichiamo un dado che non è un tre per un *. I seguenti sono possibili modi per avere due tre su cinque tiri:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Vediamo che ci sono dieci modi per tirare esattamente due tre su cinque dadi.

Ora moltiplichiamo la nostra probabilità sopra per i 10 modi in cui possiamo avere questa configurazione di dadi. Il risultato è 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Questo è di circa il 16%.

Ora generalizziamo l'esempio sopra. Consideriamo la probabilità di rotolare n dadi e ottenere esattamente K che hanno un certo valore.

Proprio come prima, la probabilità di ottenere il numero desiderato è 1/6. La probabilità di non ottenere questo numero è data dal regola del complemento come 5/6. Vogliamo K dei nostri dadi per essere il numero selezionato. Ciò significa che n - K sono un numero diverso da quello che vogliamo. La probabilità del primo K i dadi sono un certo numero con gli altri dadi, non questo numero è:

(1/6)^K(5/6)^{n - K}

Sarebbe noioso, per non parlare del dispendio di tempo, elencare tutti i modi possibili per lanciare una particolare configurazione di dadi. Ecco perché è meglio usare i nostri principi di conteggio. Attraverso queste strategie, vediamo che stiamo contando combinazioni.

Ci sono C (n, K) modi per rotolare K di un certo tipo di dadi da n dado. Questo numero è dato dalla formula n!/(K!(n - K)!)

Mettendo tutto insieme, lo vediamo quando rotoliamo n dadi, la probabilità che esattamente K di loro sono un numero particolare è dato dalla formula:

[n!/(K!(n - K)!)] (1/6)^{K(5/6)n - K}

C'è un altro modo di considerare questo tipo di problema. Ciò comporta il distribuzione binomiale con probabilità di successo data da p = 1/6. La formula per esattamente K di questi dadi essendo un certo numero è conosciuta come la funzione di massa di probabilità per il binomio distribuzione.

Un'altra situazione che dovremmo considerare è la probabilità di ottenere almeno un certo numero di un determinato valore. Ad esempio, quando lanciamo cinque dadi qual è la probabilità di tirarne almeno tre? Potremmo tirarne tre, quattro o cinque. Per determinare la probabilità che vogliamo trovare, sommiamo tre probabilità.

Di seguito abbiamo una tabella di probabilità per ottenere esattamente K di un certo valore quando lanciamo cinque dadi.

Successivamente, consideriamo la seguente tabella. Dà la probabilità di tirare almeno un certo numero di un valore quando lanciamo un totale di cinque dadi. Vediamo che sebbene sia molto probabile che tiri almeno un 2, non è altrettanto probabile che tiri almeno quattro 2.