Dopo aver visto le formule stampate in un libro di testo o scritte alla lavagna da un insegnante, a volte è sorprendente scoprire che molte di queste formule possono essere derivate da alcune definizioni fondamentali e da un'attenta riflessione. Ciò è particolarmente vero nella probabilità quando si esamina la formula per le combinazioni. La derivazione di questa formula si basa sul principio di moltiplicazione.
Il principio di moltiplicazione
Supponiamo che ci sia un'attività da svolgere e questa attività sia suddivisa in due passaggi. Il primo passo può essere fatto K modi e il secondo passo può essere fatto in n modi. Ciò significa che dopo moltiplicando questi numeri insieme, il numero di modi per eseguire l'attività è nk.
Ad esempio, se hai dieci tipi di gelati tra cui scegliere e tre diversi condimenti, quanti bicchieri da paletta, uno da guarnire puoi fare? Moltiplica tre per 10 per ottenere 30 meridiane.
Formazione di permutazioni
Ora, usa il principio di moltiplicazione per derivare la formula per il numero di combinazioni di
r elementi presi da una serie di n elementi. Permettere P (n, r) denota il numero di permutazioni di r elementi da un set di n e C (n, r) denota il numero di combinazioni di r elementi da un set di n elementi.Pensa a cosa succede quando si forma una permutazione di r elementi da un totale di n. Guarda questo come un processo in due fasi. Innanzitutto, scegli un set di r elementi da un set di n. Questa è una combinazione e ci sono C(n, r) modi per farlo. Il secondo passo del processo è ordinare r elementi con r scelte per il primo, r - 1 scelta per il secondo, r - 2 per il terzo, 2 scelte per il penultimo e 1 per l'ultimo. Secondo il principio della moltiplicazione, ci sono r X (r -1) x... x 2 x 1 = r! modi per farlo. Questa formula è scritta con notazione fattoriale.
La derivazione della formula
Per ricapitolare, P(n,r ), il numero di modi per formare una permutazione di r elementi da un totale di n è determinato da:
- Formare una combinazione di r elementi su un totale di n in uno qualsiasi di C(n,r ) modi
- Ordinando questi r elementi uno qualsiasi di r! modi.
Secondo il principio della moltiplicazione, il numero di modi per formare una permutazione è P(n,r ) = C(n,r ) X r!.
Usando la formula per permutazioni P(n,r ) = n!/(n - r)!, che può essere sostituito nella formula sopra:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Ora risolvi questo, il numero di combinazioni, C(n,r ) e vedere quello C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Come dimostrato, un po 'di pensiero e algebra possono fare molto. Altre formule di probabilità e statistica possono anche essere derivate con alcune accurate applicazioni delle definizioni.