Come calcolare il margine di errore

Molte volte sondaggi politici e altro applicazioni di statistiche dichiarare i loro risultati con un margine di errore. Non è raro vedere che un sondaggio di opinione afferma che esiste un supporto per un problema o un candidato ad una certa percentuale di intervistati, più e meno una certa percentuale. È questo termine positivo e negativo il margine di errore. Ma come viene calcolato il margine di errore? Per un semplice campione casuale di una popolazione sufficientemente ampia, il margine o l'errore è in realtà solo una riaffermazione della dimensione del campione e del livello di confidenza utilizzato.

Nel seguito utilizzeremo la formula per il margine di errore. Pianificheremo il caso peggiore possibile, in cui non abbiamo idea di quale sia il vero livello di supporto dei problemi nel nostro sondaggio. Se avessimo un'idea di questo numero, probabilmente attraverso i precedenti dati di polling, finiremmo con un margine di errore più piccolo.

La formula che useremo è: E = z_α/2/ (2√ n)

La prima informazione di cui abbiamo bisogno per calcolare il margine di errore è determinare quale livello di fiducia desideriamo. Questo numero può essere qualsiasi percentuale inferiore al 100%, ma i livelli di confidenza più comuni sono 90%, 95% e 99%. Di questi tre il livello del 95% viene utilizzato più frequentemente.

Se sottraggiamo il livello di confidenza da uno, otterremo il valore di alfa, scritto come α, necessario per la formula.

Il passaggio successivo nel calcolo del margine o dell'errore consiste nel trovare il valore critico appropriato. Questo è indicato dal termine z_α/2 nella formula sopra. Dato che abbiamo assunto un semplice campione casuale di una vasta popolazione, possiamo usare il distribuzione normale standard di z-scores.

Supponiamo di lavorare con un livello di fiducia del 95%. Vogliamo cercare il z-Punto z *per cui l'area compresa tra -z * e z * è 0,95. Dalla tabella, vediamo che questo valore critico è 1,96.

Avremmo potuto anche trovare il valore critico nel modo seguente. Se pensiamo in termini di α / 2, poiché α = 1 - 0,95 = 0,05, vediamo che α / 2 = 0,025. Ora cerchiamo la tabella per trovare il z-score con un'area di 0,025 alla sua destra. Vorremmo finire con lo stesso valore critico di 1,96.

Altri livelli di fiducia ci daranno diversi valori critici. Maggiore è il livello di confidenza, maggiore sarà il valore critico. Il valore critico per un livello di confidenza del 90%, con un valore α corrispondente di 0,10, è 1,64. Il valore critico per un livello di confidenza del 99%, con un valore α corrispondente di 0,01, è 2,54.

L'unico altro numero di cui abbiamo bisogno per usare la formula per calcolare il margine di errore è il misura di prova, denotato da n nella formula. Quindi prendiamo la radice quadrata di questo numero.

A causa della posizione di questo numero nella formula sopra, maggiore è il misura di prova che usiamo, minore sarà il margine di errore. Campioni di grandi dimensioni sono quindi preferibili a quelli più piccoli. Tuttavia, poiché il campionamento statistico richiede risorse di tempo e denaro, ci sono vincoli su quanto possiamo aumentare la dimensione del campione. La presenza della radice quadrata nella formula significa che quadruplicando la dimensione del campione sarà solo la metà del margine di errore.

Per dare un senso alla formula, diamo un'occhiata a un paio di esempi.

1. Qual è il margine di errore per un semplice campione casuale di 900 persone con un 95%livello di fiducia?
2. Usando la tabella abbiamo un valore critico di 1,96, quindi il margine di errore è 1,96 / (2 √ 900 = 0,03267, ovvero circa 3,3%.
3. Qual è il margine di errore per un semplice campione casuale di 1600 persone con un livello di confidenza del 95%?
4. Allo stesso livello di fiducia come primo esempio, aumentare la dimensione del campione a 1600 ci dà un margine di errore di 0,0245 o circa il 2,5%.