Funzione di generazione del momento per la distribuzione binomiale

La media e la varianza di una variabile casuale X con un distribuzione di probabilità binomiale può essere difficile da calcolare direttamente. Sebbene possa essere chiaro cosa deve essere fatto usando la definizione di valore atteso di X e X², l'esecuzione effettiva di questi passaggi è una complicata giocoleria di algebra e somme. Un modo alternativo per determinare la media e la varianza di a distribuzione binomiale è usare il funzione generatrice del momento per X.

Inizia con la variabile casuale X e descrivi il distribuzione di probabilità più specificamente. Eseguire n prove indipendenti di Bernoulli, ognuna delle quali ha probabilità di successo p e probabilità di fallimento 1 - p. Quindi la funzione di massa di probabilità è

f (X) = C(n, X)p^X(1 – p)^{n - X}

Ecco il termine C(n, X) indica il numero di combinazioni di n elementi presi X alla volta, e X può assumere i valori 0, 1, 2, 3,. .., n.

Utilizzare questa funzione di massa di probabilità per ottenere la funzione di generazione del momento di X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿe^txC(n,X)>)p^X(1 – p)^{n - X}.

Diventa chiaro che puoi combinare i termini con l'esponente di X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>)(1 – p)^{n - X}.

Inoltre, usando la formula binomiale, l'espressione sopra è semplicemente:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Per trovare il significare e varianza, dovrai conoscere entrambi M"(0) e M’’(0). Inizia calcolando i tuoi derivati, quindi valuta ciascuno di essi su t = 0.

Vedrai che la prima derivata della funzione di generazione del momento è:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Da questo, puoi calcolare la media della distribuzione di probabilità. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Questo corrisponde all'espressione che abbiamo ottenuto direttamente dalla definizione della media.

Il calcolo della varianza viene eseguito in modo simile. Innanzitutto, differenziamo nuovamente la funzione generatrice del momento, quindi valutiamo questo derivato in t = 0. Qui lo vedrai

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Per calcolare la varianza di questa variabile casuale devi trovare M’’(t). Ecco qui M’’(0) = n(n - 1)p² +np. La varianza σ² della tua distribuzione è

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Sebbene questo metodo sia in qualche modo coinvolto, non è così complicato come calcolare la media e la varianza direttamente dalla funzione della massa di probabilità.