Comprensione delle equazioni equivalenti in algebra

Le equazioni equivalenti sono sistemi di equazioni che hanno le stesse soluzioni. Identificare e risolvere equazioni equivalenti è un'abilità preziosa, non solo in classe di algebra ma anche nella vita di tutti i giorni. Dai un'occhiata agli esempi di equazioni equivalenti, come risolverli per una o più variabili e come potresti usare questa abilità al di fuori di una classe.

Key Takeaways

Gli esempi più semplici di equazioni equivalenti non hanno alcuna variabile. Ad esempio, queste tre equazioni sono equivalenti tra loro:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Riconoscere queste equazioni è equivalente è grandioso, ma non particolarmente utile. Di solito, un problema di equazione equivalente ti chiede di risolvere una variabile per vedere se è la stessa (la stessa

Ad esempio, le seguenti equazioni sono equivalenti:

• x = 5
• -2x = -10

In entrambi i casi, x = 5. Come facciamo a saperlo? Come risolverlo per l'equazione "-2x = -10"? Il primo passo è conoscere le regole delle equazioni equivalenti:

• Aggiunta o sottrarre lo stesso numero o espressione su entrambi i lati di un'equazione produce un'equazione equivalente.
• Moltiplicare o dividere entrambi i lati di un'equazione per lo stesso numero diverso da zero produce un'equazione equivalente.
• Alzando entrambi i lati dell'equazione al stesso potere dispari o prendere la stessa radice dispari produrrà un'equazione equivalente.
• Se entrambi i lati di un'equazione sono nonnegativo, elevare entrambi i lati di un'equazione alla stessa potenza pari o prendere la stessa radice uniforme darà un'equazione equivalente.

Mettendo in pratica queste regole, determinare se queste due equazioni sono equivalenti:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Per risolvere questo, è necessario trovare "x" per ciascuno equazione. Se "x" è lo stesso per entrambe le equazioni, allora sono equivalenti. Se "x" è diverso (ovvero le equazioni hanno radici diverse), le equazioni non sono equivalenti. Per la prima equazione:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (sottraendo entrambi i lati dallo stesso numero)
• x = 5

Per la seconda equazione:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (sottraendo entrambi i lati dallo stesso numero)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dividendo entrambi i lati dell'equazione per lo stesso numero)
• x = 5

Quindi, sì, le due equazioni sono equivalenti perché x = 5 in ciascun caso.

Puoi usare equazioni equivalenti nella vita quotidiana. È particolarmente utile quando si acquista. Ad esempio, ti piace una maglietta particolare. Una società offre la camicia per $ 6 e ha $ 12 di spedizione, mentre un'altra società offre la camicia per $ 7,50 e ha $ 9 di spedizione. Quale camicia ha il miglior prezzo? Quante camicie (forse le vorresti comprare per gli amici) dovresti comprare perché il prezzo sia lo stesso per entrambe le società?

Per risolvere questo problema, lascia che "x" sia il numero di camicie. Per iniziare, imposta x = 1 per l'acquisto di una maglietta. Per l'azienda n. 1:

• Prezzo = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = $ 18

Per la società n. 2:

• Prezzo = 7.5x + 9 = (1) (7.5) + 9 = 7.5 + 9 = $ 16.50

Quindi, se stai acquistando una maglietta, la seconda azienda offre un affare migliore.

Per trovare il punto in cui i prezzi sono uguali, lascia che "x" rimanga il numero di camicie, ma imposta le due equazioni uguali tra loro. Risolvi "x" per scoprire quante camicie dovresti comprare:

• 6x + 12 = 7.5x + 9
• 6x - 7.5x = 9-12 (sottraendo gli stessi numeri o espressioni da ogni lato)
• -1,5x = -3
• 1.5x = 3 (dividendo entrambi i lati per lo stesso numero, -1)
• x = 3 / 1.5 (dividendo entrambi i lati per 1,5)
• x = 2

Se acquisti due camicie, il prezzo è lo stesso, indipendentemente da dove lo trovi. Puoi utilizzare la stessa matematica per determinare quale azienda ti offre un affare migliore con ordini più grandi e anche per calcolare quanto risparmierai utilizzando una società rispetto all'altra. Vedi, l'algebra è utile!

Se hai due equazioni e due incognite (xey), puoi determinare se due serie di equazioni lineari sono equivalenti.

Ad esempio, se ti vengono fornite le equazioni:

• -3x + 12y = 15
• 7x - 10y = -2

È possibile determinare se il seguente sistema è equivalente:

• -x + 4y = 5
• 7x -10y = -2

Per risolvi questo problema, trova "x" e "y" per ciascun sistema di equazioni. Se i valori sono gli stessi, i sistemi di equazioni sono equivalenti.

Inizia con il primo set. Per risolverne due equazioni con due variabili, isolare una variabile e collegare la sua soluzione all'altra equazione. Per isolare la variabile "y":

• -3x + 12y = 15
• -3x = 15 - 12 anni
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (inserire "x" nella seconda equazione)
• 7x - 10y = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10y = -2
• -35 + 28y - 10y = -2
• 18 anni = 33
• y = 33/18 = 11/6

Ora, ricollega "y" a una delle due equazioni per risolvere "x":

• 7x - 10y = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

In questo modo alla fine otterrai x = 7/3.

Per rispondere alla domanda, tu poteva applica gli stessi principi alla seconda serie di equazioni per risolvere "x" e "y" per scoprire che sì, sono effettivamente equivalenti. È facile impantanarsi nell'algebra, quindi è una buona idea controllare il tuo lavoro usando un risolutore di equazioni online.

Tuttavia, lo studente intelligente noterà che le due serie di equazioni sono equivalenti senza fare calcoli difficili. L'unica differenza tra la prima equazione in ciascun set è che la prima è tre volte la seconda (equivalente). La seconda equazione è esattamente la stessa.