Impariamo abbastanza presto nella nostra carriera matematica che il fattoriale, definito per numeri interi non negativi n, è un modo per descrivere la moltiplicazione ripetuta. È indicato dall'uso di un punto esclamativo. Per esempio:
L'unica eccezione a questa definizione è zero fattoriale, dove 0! = 1. Se guardiamo questi valori per il fattoriale, potremmo accoppiarli n con n!. Questo ci darebbe i punti (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) e così via su.
La definizione della funzione gamma è molto complessa. Implica una formula dall'aspetto complicato che sembra molto strano. La funzione gamma utilizza alcuni calcoli nella sua definizione, così come il numero e A differenza delle funzioni più familiari come i polinomi o le funzioni trigonometriche, la funzione gamma è definita come l'integrale improprio di un'altra funzione.
La definizione della funzione gamma può essere utilizzata per dimostrare un numero di identità. Uno dei più importanti di questi è che Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Possiamo usare questo e il fatto che Γ (1) = 1 dal calcolo diretto:
Ma non è necessario inserire solo numeri interi nella funzione gamma. Qualsiasi numero complesso che non sia un numero intero negativo si trova nel dominio della funzione gamma. Ciò significa che possiamo estendere il fattoriale a numeri diversi dagli interi non negativi. Di questi valori, uno dei risultati più noti (e sorprendenti) è che Γ (1/2) = √π.
Un altro risultato simile al precedente è che Γ (1/2) = -2π. In effetti, la funzione gamma produce sempre un output di un multiplo della radice quadrata di pi quando un multiplo dispari di 1/2 viene immesso nella funzione.
La funzione gamma si presenta in molti campi della matematica apparentemente non correlati. In particolare, la generalizzazione del fattoriale fornito dalla funzione gamma è utile in alcuni problemi combinatori e di probabilità. Alcuni distribuzioni di probabilità sono definiti direttamente in termini di funzione gamma. Ad esempio, la distribuzione gamma è indicata in termini di funzione gamma. Questa distribuzione può essere utilizzata per modellare l'intervallo di tempo tra i terremoti. Distribuzione t di Student, che può essere utilizzato per i dati in cui abbiamo una deviazione standard della popolazione sconosciuta e la distribuzione chi-quadro è definita anche in termini di funzione gamma.