Come usare "If and Only If" in matematica

Quando si legge su statistiche e matematica, una frase che appare regolarmente è "se e solo se". Questa frase appare in particolare all'interno di affermazioni di teoremi o prove matematiche. Ma cosa significa esattamente questa affermazione?

Per capire "se e solo se", dobbiamo prima sapere cosa si intende per affermazione condizionale. Un'istruzione condizionale è una formata da altre due dichiarazioni, che indicheremo con P e Q. Per formare una dichiarazione condizionale, potremmo dire "se P allora Q."

I seguenti sono esempi di questo tipo di affermazione:

• Se fuori piove, porto con me l'ombrello durante la passeggiata.
• Se studi duramente, guadagnerai una A.
• Se n è divisibile per 4, quindi n è divisibile per 2.

Altre tre affermazioni sono correlate a qualsiasi affermazione condizionale. Questi sono chiamati conversare, inverso e contrapposto. Formiamo queste affermazioni cambiando l'ordine di P e Q dal condizionale originale e inserendo la parola "non" per l'inverso e il contrapposto.

Dobbiamo solo considerare il contrario qui. Questa affermazione si ottiene dall'originale dicendo "if Q then P." Supponiamo di iniziare con il condizionale “se fuori piove, allora io porta il mio ombrello con me durante la mia passeggiata. " Il contrario di questa affermazione è “se porto l'ombrello con me durante la mia passeggiata, allora piove al di fuori."

Dobbiamo solo considerare questo esempio per renderci conto che il condizionale originale non è logicamente lo stesso del suo contrario. La confusione di queste due forme di dichiarazione è nota come a errore di conversione. Si potrebbe portare un ombrello a fare una passeggiata anche se potrebbe non piovere fuori.

Per un altro esempio, consideriamo il condizionale "Se un numero è divisibile per 4, allora è divisibile per 2." Questa affermazione è chiaramente vera. Tuttavia, questa affermazione conversa "Se un numero è divisibile per 2, allora è divisibile per 4" è falso. Dobbiamo solo guardare un numero come 6. Sebbene 2 divida questo numero, 4 no. Mentre l'affermazione originale è vera, non è vero il contrario.

Questo ci porta a un'affermazione bicondizionale, che è anche conosciuta come un'affermazione "se e solo se". Alcune dichiarazioni condizionali hanno anche conversazioni vere. In questo caso, possiamo formare ciò che è noto come una dichiarazione bicondizionale. Una dichiarazione bicondizionale ha la forma:

"Se P quindi Q, e se Q quindi P."

Da questo costruzione è alquanto imbarazzante, specialmente quando P e Q sono le loro stesse affermazioni logiche, semplificiamo l'affermazione di una condizione condizionale usando la frase "se e solo se." Invece di dire "se P allora Q, e se Q poi P" invece diciamo "P se e solo se Q." Questa costruzione ne elimina alcune ridondanza.

Per un esempio della frase "se e solo se" che coinvolge le statistiche, non guardare oltre un fatto riguardante la deviazione standard del campione. La deviazione standard del campione di un set di dati è uguale a zero se e solo se tutti i valori dei dati sono identici.

Dividiamo questa affermazione bicondizionale in condizionale e viceversa. Quindi vediamo che questa affermazione significa entrambi i seguenti:

• Se la deviazione standard è zero, tutti i valori dei dati sono identici.
• Se tutti i valori dei dati sono identici, la deviazione standard è uguale a zero.

Se stiamo provando a dimostrare un bicondizionato, la maggior parte delle volte finiamo per dividerlo. Questo rende la nostra prova composta da due parti. Una parte che dimostriamo è "se P allora Q." L'altra parte della dimostrazione di cui abbiamo bisogno è "se Q allora P."

Le dichiarazioni bicondizionali sono correlate a condizioni che sono sia necessarie che sufficienti. Considera l'affermazione “se oggi lo è Pasqua, quindi domani è lunedì. " Oggi Pasqua è sufficiente perché domani sia lunedì, tuttavia non è necessario. Oggi potrebbe essere una domenica diversa da Pasqua, e domani sarebbe ancora lunedì.

La frase "se e solo se" è usata abbastanza comunemente nella scrittura matematica da avere la sua abbreviazione. A volte il bicondizionato nella frase "se e solo se" è abbreviato semplicemente in "iff". Quindi la frase "P if e only if Q" diventa "P iff Q."