Quando si effettua una misurazione, a scienziato può raggiungere solo un certo livello di precisione, limitato dagli strumenti utilizzati o dalla natura fisica della situazione. L'esempio più ovvio è la misurazione della distanza.
Considera cosa succede quando si misura la distanza spostata da un oggetto usando un metro (in unità metriche). Il metro a nastro è probabilmente suddiviso nelle unità più piccole di millimetri. Pertanto, non è possibile misurare con una precisione maggiore di un millimetro. Se l'oggetto si sposta di 57.215493 millimetri, quindi, possiamo solo dire con certezza che si è spostato di 57 millimetri (o 5,7 centimetri o 0,057 metri, a seconda delle preferenze in quella situazione).
In generale, questo livello di arrotondamento va bene. Ottenere il movimento preciso di un oggetto di dimensioni normali fino a millimetro sarebbe un risultato piuttosto impressionante, in realtà. Immagina di provare a misurare il movimento di un'auto al millimetro e vedrai che, in generale, questo non è necessario. Nei casi in cui tale precisione è necessaria, utilizzerai strumenti molto più sofisticati di un metro a nastro.
Il numero di numeri significativi in una misurazione è chiamato il numero di figure significative del numero. Nell'esempio precedente, la risposta di 57 millimetri ci fornirebbe 2 cifre significative nella nostra misurazione.
Zero e cifre significative
Considera il numero 5.200.
Salvo diversamente specificato, è prassi comune supporre che solo le due cifre diverse da zero siano significative. In altre parole, si presume che questo numero fosse arrotondato al centinaio più vicino.
Tuttavia, se il numero è scritto come 5.200,0, allora avrebbe cinque cifre significative. Il punto decimale e lo zero seguente vengono aggiunti solo se misurazione è preciso a quel livello.
Allo stesso modo, il numero 2.30 avrebbe tre cifre significative, perché lo zero alla fine indica che lo scienziato che stava eseguendo la misurazione lo faceva a quel livello di precisione.
Alcuni libri di testo hanno anche introdotto la convenzione secondo cui un punto decimale alla fine di un numero intero indica anche cifre significative. Quindi 800. avrebbe tre cifre significative mentre 800 ha solo una cifra significativa. Ancora una volta, questo è alquanto variabile a seconda del libro di testo.
Di seguito sono riportati alcuni esempi di diversi numeri di cifre significative, per aiutare a consolidare il concetto:
Una cifra significativa
4
900
0.00002
Due cifre significative
3.7
0.0059
68,000
5.0
Tre cifre significative
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (in alcuni libri di testo)
Matematica con figure significative
Le figure scientifiche forniscono alcune regole diverse per la matematica rispetto a quelle introdotte nella tua classe di matematica. La chiave nell'utilizzo di cifre significative è assicurarsi di mantenere lo stesso livello di precisione durante il calcolo. In matematica, mantieni tutti i numeri del tuo risultato, mentre nel lavoro scientifico spesso giri in base alle cifre significative coinvolte.
Quando si aggiungono o sottraggono dati scientifici, è solo l'ultima cifra (la cifra più a destra) che conta. Ad esempio, supponiamo che stiamo aggiungendo tre diverse distanze:
5.324 + 6.8459834 + 3.1
Il primo termine nel problema dell'addizione ha quattro cifre significative, il secondo ne ha otto e il terzo ne ha solo due. La precisione, in questo caso, è determinata dal punto decimale più breve. Quindi eseguirai il tuo calcolo, ma invece di 15.2699834 il risultato sarà 15,3, perché arrotonderai al decimo posto (il primo dopo il punto decimale), perché mentre due di il tuo misurazioni sono più precisi il terzo non può dirti altro che il decimo posto, quindi il risultato di questo problema di addizione può essere solo così preciso.
Nota che la tua risposta finale, in questo caso, ha tre cifre significative, mentre nessuna dei tuoi numeri di partenza ha fatto. Questo può essere molto confuso per i principianti ed è importante prestare attenzione a quella proprietà di addizione e sottrazione.
Quando si moltiplicano o si dividono i dati scientifici, d'altra parte, il numero di cifre significative è importante. La moltiplicazione di cifre significative si tradurrà sempre in una soluzione che ha le stesse cifre significative delle cifre significative più piccole con cui hai iniziato. Quindi, sull'esempio:
5.638 x 3.1
Il primo fattore ha quattro cifre significative e il secondo fattore ha due cifre significative. La tua soluzione finirà quindi con due cifre significative. In questo caso, sarà 17 anziché 17,4778. Si esegue il calcolo poi arrotondare la soluzione al numero corretto di cifre significative. La precisione extra nella moltiplicazione non farà male, semplicemente non vuoi dare un falso livello di precisione nella tua soluzione finale.
Usando la notazione scientifica
La fisica si occupa dei regni dello spazio dalle dimensioni di meno di un protone alle dimensioni dell'universo. Come tale, si finisce per occuparsi di numeri molto grandi e molto piccoli. In generale, solo i primi di questi numeri sono significativi. Nessuno misurerà (o sarà in grado) la larghezza dell'universo al millimetro più vicino.
Nota
Questa parte dell'articolo tratta della manipolazione di numeri esponenziali (cioè 105, 10-8, ecc.) E si presume che il lettore abbia una comprensione di questi concetti matematici. Sebbene l'argomento possa essere complicato per molti studenti, è oltre lo scopo di questo articolo affrontare.
Per manipolare facilmente questi numeri, gli scienziati usano notazione scientifica. Le cifre significative sono elencate, quindi moltiplicate per dieci per la potenza necessaria. La velocità della luce è scritta come: [blackquote shade = no] 2.997925 x 108 m / s
Ci sono 7 cifre significative e questo è molto meglio che scrivere 299.792.500 m / s.
Nota
La velocità della luce è spesso scritta come 3,00 x 108 m / s, nel qual caso ci sono solo tre cifre significative. Ancora una volta, si tratta di quale livello di precisione è necessario.
Questa notazione è molto utile per la moltiplicazione. Segui le regole descritte in precedenza per moltiplicare i numeri significativi, mantenendo il più piccolo numero di cifre significative, quindi moltiplica le magnitudini, che segue la regola additiva di esponenti. L'esempio seguente dovrebbe aiutarti a visualizzarlo:
2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107
Il prodotto ha solo due cifre significative e l'ordine di grandezza è 107 perché 103 x 104 = 107
L'aggiunta di notazione scientifica può essere molto semplice o molto complicata, a seconda della situazione. Se i termini sono dello stesso ordine di grandezza (ovvero 4.3005 x 105 e 13.5 x 105), segui le regole di aggiunta discusse in precedenza, mantenendo il valore del luogo più alto come posizione di arrotondamento e mantenendo la grandezza uguale, come nel seguito esempio:
4.3005 x 105 + 13.5 x 105 = 17.8 x 105
Se l'ordine di grandezza è diverso, tuttavia, è necessario lavorare un po 'per ottenere le stesse dimensioni, come in l'esempio seguente, in cui un termine è sull'entità di 105 e l'altro termine è sull'entità di 106:
4.8 x 105 + 9.2 x 106 = 4.8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
o
4.8 x 105 + 9.2 x 106 = 0.48 x 106 + 9.2 x 106 = 9.7 x 106
Entrambe queste soluzioni sono le stesse, risultando in 9.700.000 come risposta.
Allo stesso modo, anche numeri molto piccoli sono spesso scritti in notazione scientifica, sebbene con un esponente negativo sulla grandezza anziché sull'esponente positivo. La massa di un elettrone è:
9.10939 x 10-31 kg
Questo sarebbe uno zero, seguito da un punto decimale, seguito da 30 zero, quindi dalla serie di 6 cifre significative. Nessuno vuole scriverlo, quindi la notazione scientifica è nostra amica. Tutte le regole sopra descritte sono le stesse, indipendentemente dal fatto che l'esponente sia positivo o negativo.
I limiti delle figure significative
Le cifre significative sono un mezzo fondamentale che gli scienziati usano per fornire una misura di precisione ai numeri che stanno usando. Il processo di arrotondamento coinvolto introduce ancora una misura di errore nei numeri, tuttavia, e in calcoli di livello molto elevato ci sono altri metodi statistici che vengono utilizzati. Per praticamente tutta la fisica che verrà svolta nelle scuole superiori e nelle aule universitarie, tuttavia, un uso corretto di cifre significative sarà sufficiente per mantenere il livello richiesto di precisione.
Commenti finali
Le figure significative possono essere un ostacolo significativo quando vengono introdotte per la prima volta agli studenti perché alterano alcune delle regole matematiche di base che sono state insegnate per anni. Con cifre significative, ad esempio 4 x 12 = 50.
Allo stesso modo, l'introduzione della notazione scientifica per gli studenti che potrebbero non essere completamente a proprio agio con esponenti o regole esponenziali può anche creare problemi. Tieni presente che questi sono strumenti che tutti gli studiosi di scienze hanno dovuto imparare ad un certo punto e che le regole sono in realtà molto basilari. Il problema è quasi interamente ricordare quale regola viene applicata in quel momento. Quando aggiungo esponenti e quando li sottraggo? Quando sposto il punto decimale a sinistra e quando a destra? Se continui a praticare questi compiti, riuscirai a migliorarli fino a quando non diventeranno una seconda natura.
Infine, mantenere unità adeguate può essere complicato. Ricorda che non puoi aggiungere direttamente centimetri e metri, ad esempio, ma devono prima convertirli nella stessa scala. Questo è un errore comune per i principianti ma, come il resto, è qualcosa che può essere facilmente superato rallentando, facendo attenzione e pensando a quello che stai facendo.