Se chiedessi a qualcuno di nominare la sua costante matematica preferita, probabilmente otterrai alcuni aspetti interrogativi. Dopo un po 'qualcuno può fare volontariato che il la migliore costante è pi. Ma questa non è l'unica costante matematica importante. Un secondo vicino, se non il contendente per la corona della costante più onnipresente è e. Questo numero appare in calcolo, teoria dei numeri, probabilità e statistica. Esamineremo alcune delle caratteristiche di questo numero notevole e vedremo quali connessioni ha con statistiche e probabilità.
Valore di e
Come pi, e è irrazionale numero reale. Ciò significa che non può essere scritto come una frazione e che la sua espansione decimale va avanti per sempre senza alcun blocco di numeri che si ripete continuamente. Il numero e è anche trascendentale, il che significa che non è la radice di un polinomio diverso da zero con coefficienti razionali. Le prime cinquanta cifre decimali sono indicate da e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definizione di e
Il numero e è stato scoperto da persone che erano curiose di interesse composto. In questa forma di interesse, il capitale guadagna interesse e quindi l'interesse generato guadagna interesse su se stesso. È stato osservato che maggiore è la frequenza dei periodi di capitalizzazione all'anno, maggiore è la quantità di interesse generato. Ad esempio, potremmo considerare l'interesse composto:
- Annualmente o una volta all'anno
- Semestralmente o due volte l'anno
- Mensile o 12 volte l'anno
- Ogni giorno o 365 volte l'anno
L'importo totale degli interessi aumenta per ciascuno di questi casi.
Si è posta una domanda su quanti soldi si potrebbero guadagnare in interessi. Per tentare di fare ancora più soldi, in teoria potremmo aumentare il numero di periodi di capitalizzazione fino a raggiungere il numero che desideravamo. Il risultato finale di questo aumento è che considereremmo che l'interesse fosse costantemente aumentato.
Mentre l'interesse generato aumenta, lo fa molto lentamente. La quantità totale di denaro nel conto si stabilizza effettivamente e il valore a cui si stabilizza è e. Per esprimere questo usando una formula matematica diciamo che il limite è n aumenti di (1 + 1 /n)n = e.
Usi di e
Il numero e si presenta in tutta la matematica. Ecco alcuni dei luoghi in cui appare:
- È la base del logaritmo naturale. Da quando Napier ha inventato i logaritmi, e viene talvolta definito costante di Napier.
- Nel calcolo, la funzione esponenziale eX ha la proprietà unica di essere un suo derivato.
- Espressioni coinvolgenti eX e e-X combinare per formare il seno iperbolico e le funzioni del coseno iperbolico.
- Grazie al lavoro di Eulero, sappiamo che le costanti fondamentali della matematica sono correlate dalla formula eiΠ + 1 = 0, dove io è il numero immaginario che è la radice quadrata di quella negativa.
- Il numero e si presenta in varie formule attraverso la matematica, in particolare l'area della teoria dei numeri.
Il valore e in Statistica
L'importanza del numero e non si limita a poche aree della matematica. Ci sono anche diversi usi del numero e in statistica e probabilità. Alcuni di questi sono i seguenti:
- Il numero e fa un'apparizione in formula per la funzione gamma.
- Le formule per il distribuzione normale standard coinvolge e a un potere negativo. Questa formula include anche pi.
- Molte altre distribuzioni comportano l'uso del numero e. Ad esempio, le formule per la distribuzione t, distribuzione gamma e distribuzione chi-quadrato contengono tutte il numero e.