Soluzioni per problemi di conteggio difficili

Il conteggio può sembrare un'attività facile da eseguire. Mentre andiamo più a fondo nell'area di matematica conosciuto come combinatorio, ci rendiamo conto che ci imbattiamo in alcuni grandi numeri. Dal momento che il fattoriale si presenta così spesso e un numero come 10! è maggiore di tre milione, il conteggio dei problemi può complicarsi molto rapidamente se proviamo a elencare tutte le possibilità.

A volte, quando consideriamo tutte le possibilità che i nostri problemi di conteggio possono assumere, è più facile pensare attraverso i principi alla base del problema. Questa strategia può richiedere molto meno tempo rispetto al provare la forza bruta per elencarne una serie combinazioni o permutazioni.

La domanda "In quanti modi si può fare qualcosa?" è una domanda completamente diversa da "Quali sono i modi che qualcosa si può fare? "Vedremo questa idea al lavoro nella seguente serie di conteggio stimolante i problemi.

La seguente serie di domande riguarda la parola TRIANGOLO. Si noti che ci sono un totale di otto lettere. Sia capito che il

1. In quanti modi è possibile disporre le lettere della parola TRIANGOLO?
   Soluzione: Qui ci sono un totale di otto scelte per la prima lettera, sette per la seconda, sei per la terza e così via. Per il principio di moltiplicazione moltipliciamo per un totale di 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 modi diversi.
2. In quanti modi è possibile disporre le lettere della parola TRIANGOLO se le prime tre lettere devono essere RAN (nell'ordine esatto)?
   Soluzione: Le prime tre lettere sono state scelte per noi, lasciandoci cinque lettere. Dopo RAN abbiamo cinque scelte per la lettera successiva seguita da quattro, quindi tre, quindi due e poi una. Secondo il principio della moltiplicazione, ci sono 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 modi per disporre le lettere in un modo specificato.
3. In quanti modi è possibile disporre le lettere della parola TRIANGOLO se le prime tre lettere devono essere RAN (in qualsiasi ordine)?
   Soluzione: Guarda come due compiti indipendenti: il primo che organizza le lettere RAN e il secondo che organizza le altre cinque lettere. Ce ne sono 3! = 6 modi per organizzare RAN e 5! Modi per organizzare le altre cinque lettere. Quindi ce ne sono 3 in totale! x 5! = 720 modi per disporre le lettere di TRIANGOLO come specificato.
4. In quanti modi è possibile disporre le lettere della parola TRIANGOLO se le prime tre lettere devono essere RAN (in qualsiasi ordine) e l'ultima lettera deve essere una vocale?
   Soluzione: Guarda come tre compiti: il primo che organizza le lettere RAN, il secondo che sceglie una vocale tra I ed E, e il terzo che organizza le altre quattro lettere. Ce ne sono 3! = 6 modi per organizzare la RAN, 2 modi per scegliere una vocale dalle lettere rimanenti e 4! Modi per organizzare le altre quattro lettere. Quindi ce ne sono 3 in totale! X 2 x 4! = 288 modi per disporre le lettere di TRIANGOLO come specificato.
5. In quanti modi è possibile disporre le lettere della parola TRIANGOLO se le prime tre lettere devono essere RAN (in qualsiasi ordine) e le tre lettere successive devono essere TRI (in qualsiasi ordine)?
   Soluzione: Ancora una volta abbiamo tre compiti: il primo che organizza le lettere RAN, il secondo che organizza le lettere TRI, e il terzo che organizza le altre due lettere. Ce ne sono 3! = 6 modi per organizzare RAN, 3! modi per organizzare TRI e due modi per organizzare le altre lettere. Quindi ce ne sono 3 in totale! x 3! X 2 = 72 modi per disporre le lettere di TRIANGOLO come indicato.
6. In quanti modi diversi possono essere disposte le lettere della parola TRIANGOLO se l'ordine e il posizionamento delle vocali IAE non possono essere modificati?
   Soluzione: Le tre vocali devono essere mantenute nello stesso ordine. Ora ci sono un totale di cinque consonanti da organizzare. Questo può essere fatto in 5! = 120 vie.
7. In quanti modi diversi possono essere disposte le lettere della parola TRIANGOLO se l'ordine delle vocali IAE non può può essere modificato, sebbene il loro posizionamento possa (IAETRNGL e TRIANGEL sono accettabili ma EIATRNGL e TRIENGLA sono non)?
   Soluzione: È meglio pensarlo in due passaggi. Il primo passo è scegliere i luoghi in cui vanno le vocali. Qui stiamo scegliendo tre posti su otto e l'ordine in cui lo facciamo non è importante. Questa è una combinazione e ce ne sono un totale C(8,3) = 56 modi per eseguire questo passaggio. Le restanti cinque lettere possono essere disposte in 5! = 120 vie. Questo dà un totale di 56 x 120 = 6720 arrangiamenti.
8. In quanti modi diversi possono essere disposte le lettere della parola TRIANGOLO se l'ordine delle vocali IAE può essere modificato, anche se il loro posizionamento potrebbe non esserlo?
   Soluzione: Questa è davvero la stessa cosa di cui sopra # 4, ma con lettere diverse. Organizziamo tre lettere in 3! = 6 modi e le altre cinque lettere in 5! = 120 vie. Il numero totale di modi per questa disposizione è 6 x 120 = 720.
9. In quanti modi diversi è possibile disporre di sei lettere della parola TRIANGOLO?
   Soluzione: Dato che stiamo parlando di un accordo, questa è una permutazione e ce ne sono un totale P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 modi.
10. In quanti modi diversi possono essere disposte sei lettere della parola TRIANGOLO se ci deve essere un numero uguale di vocali e consonanti?
    Soluzione: C'è solo un modo per selezionare le vocali che andremo a posizionare. La scelta delle consonanti può essere effettuata C(5, 3) = 10 modi. Ce ne sono quindi 6! modi per organizzare le sei lettere. Moltiplica questi numeri insieme per il risultato di 7200.
11. In quanti modi diversi possono essere disposte sei lettere della parola TRIANGOLO se deve esserci almeno una consonante?
    Soluzione: Ogni disposizione di sei lettere soddisfa le condizioni, quindi ci sono P(8, 6) = 20.160 vie.
12. In quanti modi diversi possono essere disposte sei lettere della parola TRIANGOLO se le vocali devono alternarsi con le consonanti?
    Soluzione: Esistono due possibilità, la prima lettera è una vocale o la prima lettera è una consonante. Se la prima lettera è una vocale, abbiamo tre scelte, seguite da cinque per una consonante, due per una seconda vocale, quattro per una seconda consonante, una per l'ultima vocale e tre per l'ultima consonante. Moltiplichiamo questo per ottenere 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Per argomenti di simmetria, esiste lo stesso numero di disposizioni che iniziano con una consonante. Questo dà un totale di 720 arrangiamenti.
13. Quante diverse serie di quattro lettere possono essere formate dalla parola TRIANGOLO?
    Soluzione: Dal momento che stiamo parlando di a impostato di quattro lettere per un totale di otto, l'ordine non è importante. Dobbiamo calcolare la combinazione C(8, 4) = 70.
14. Quante diverse serie di quattro lettere possono essere formate dalla parola TRIANGOLO che ha due vocali e due consonanti?
    Soluzione: Qui stiamo formando il nostro set in due passaggi. Ci sono C(3, 2) = 3 modi per scegliere due vocali per un totale di 3. Ci sono C(5, 2) = 10 modi per scegliere le consonanti tra le cinque disponibili. Questo dà un totale di 3x10 = 30 set possibili.
15. Quante diverse serie di quattro lettere possono essere formate dalla parola TRIANGOLO se vogliamo almeno una vocale?
    Soluzione: Questo può essere calcolato come segue:

• Il numero di serie di quattro con una vocale è C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Il numero di serie di quattro con due vocali è C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Il numero di serie di quattro con tre vocali è C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Questo dà un totale di 65 set diversi. In alternativa, potremmo calcolare che ci sono 70 modi per formare un insieme di quattro lettere qualsiasi e sottrarre il C(5, 4) = 5 modi per ottenere un set senza vocali.