Matematica vettoriale: un'introduzione di base ma completa

Questa è un'introduzione di base, sebbene si spera abbastanza completa, a lavorare con i vettori. I vettori si manifestano in un'ampia varietà di modi dallo spostamento, dalla velocità e dall'accelerazione a forze e campi. Questo articolo è dedicato alla matematica dei vettori; la loro applicazione in situazioni specifiche sarà affrontata altrove.

UN quantità vettoriale, o vettore, fornisce informazioni non solo sull'entità ma anche sulla direzione della quantità. Quando si danno indicazioni per una casa, non è sufficiente dire che si trova a 10 miglia di distanza, ma la direzione di quelle 10 miglia deve anche essere fornita affinché le informazioni siano utili. Le variabili che sono vettori saranno indicate con una variabile in grassetto, anche se è comune vedere vettori indicati con piccole frecce sopra la variabile.

Proprio come non diciamo che l'altra casa è a -10 miglia di distanza, la grandezza di un vettore è sempre un numero positivo, o piuttosto il valore assoluto della "lunghezza" del vettore (sebbene il la quantità può non essere una lunghezza, può essere una velocità, un'accelerazione, una forza, ecc.) Un negativo davanti a un vettore non indica un cambiamento nella grandezza, ma piuttosto nella direzione del vettore.

Negli esempi sopra, la distanza è la quantità scalare (10 miglia) ma Dislocamento è la quantità vettoriale (10 miglia a nord-est). Allo stesso modo, la velocità è una quantità scalare mentre la velocità è a vettore quantità.

UN vettore unitario è un vettore che ha una grandezza di uno. Un vettore che rappresenta un vettore unitario è di solito anche in grassetto, anche se avrà un carato (^) sopra di esso per indicare la natura unitaria della variabile. Il vettore unitario X, quando scritto con un carato, viene generalmente letto come "x-hat" perché il carato sembra un po 'come un cappello sulla variabile.

Il zero vettore, o vettore nullo, è un vettore con magnitudine zero. È scritto come 0 in questo articolo.

I vettori sono generalmente orientati su un sistema di coordinate, il più popolare dei quali è il piano cartesiano bidimensionale. Il piano cartesiano ha un asse orizzontale che è etichettato x e un asse verticale etichettato y. Alcune applicazioni avanzate dei vettori in fisica richiedono l'uso di uno spazio tridimensionale, in cui gli assi sono x, ye z. Questo articolo tratterà principalmente del sistema bidimensionale, sebbene i concetti possano essere ampliati con una certa cura a tre dimensioni senza troppi problemi.

I vettori nei sistemi di coordinate a più dimensioni possono essere suddivisi in loro vettori componenti. Nel caso bidimensionale, questo si traduce in a x-componente e a y-componente. Quando si suddivide un vettore nei suoi componenti, il vettore è una somma dei componenti:

F = F_X + F_y

thetaF_XF_yF

F_X / F = cos theta e F_y / F = peccato thetache ci dà
F_X = F cos theta e F_y = F peccato theta

Si noti che i numeri qui sono la grandezza dei vettori. Conosciamo la direzione dei componenti, ma stiamo cercando di trovare la loro grandezza, quindi eliminiamo le informazioni direzionali ed eseguiamo questi calcoli scalari per capire la grandezza. Un'ulteriore applicazione della trigonometria può essere utilizzata per trovare altre relazioni (come la tangente) in relazione tra alcune di queste quantità, ma penso che per ora sia sufficiente.

Per molti anni, l'unica matematica che uno studente impara è la matematica scalare. Se viaggi 5 miglia a nord e 5 miglia a est, hai viaggiato per 10 miglia. L'aggiunta di quantità scalari ignora tutte le informazioni sulle direzioni.

I vettori sono manipolati in modo leggermente diverso. La direzione deve sempre essere presa in considerazione durante la loro manipolazione.

Quando aggiungi due vettori, è come se tu prendessi i vettori e li mettessi da un capo all'altro, creando un nuovo vettore che va dal punto iniziale al punto finale. Se i vettori hanno la stessa direzione, ciò significa semplicemente aggiungere le magnitudini, ma se hanno direzioni diverse, può diventare più complesso.

È possibile aggiungere vettori suddividendoli nei loro componenti e quindi aggiungendo i componenti, come di seguito:

un' + B = c
un'_X + un'_y + B_X + B_y =
( un'_X + B_X) + ( un'_y + B_y) = c_X + c_y

I due componenti x comporteranno il componente x della nuova variabile, mentre i due componenti y comporteranno il componente y della nuova variabile.

L'ordine in cui si aggiungono i vettori non ha importanza. In effetti, diverse proprietà dell'aggiunta scalare valgono per l'aggiunta vettoriale:

Proprietà identità dell'aggiunta vettoriale
un' + 0 = un'
Proprietà inversa dell'aggiunta vettoriale
un' + -un' = un' - un' = 0
Proprietà riflettente dell'aggiunta vettoriale
un' = un'
Proprietà commutativa di aggiunta vettoriale
un' + B = B + un'
Proprietà associativa di aggiunta vettoriale
(un' + B) + c = un' + (B + c)
Proprietà transitiva di aggiunta vettoriale
Se un' = B e c = B, poi un' = c

L'operazione più semplice che può essere eseguita su un vettore è quella di moltiplicarlo per uno scalare. Questa moltiplicazione scalare altera la grandezza del vettore. In altre parole, rende il vettore più lungo o più corto.

Quando si moltiplica per uno scalare negativo, il vettore risultante punterà nella direzione opposta.

Il prodotto scalare di due vettori è un modo per moltiplicarli insieme per ottenere una quantità scalare. Questo è scritto come una moltiplicazione dei due vettori, con un punto al centro che rappresenta la moltiplicazione. Come tale, è spesso chiamato il punto prodotto di due vettori.

Per calcolare il prodotto punto di due vettori, si considera l'angolo tra di loro. In altre parole, se condividessero lo stesso punto di partenza, quale sarebbe la misurazione dell'angolo (theta) fra loro. Il prodotto punto è definito come:

un' * B = ab cos theta

ababba

Nei casi in cui i vettori sono perpendicolari (o theta = 90 gradi), cos theta sarà zero. Perciò, il punto prodotto dei vettori perpendicolari è sempre zero. Quando i vettori lo sono parallelo (o theta = 0 gradi), cos theta è 1, quindi il prodotto scalare è solo il prodotto delle magnitudini.

Questi piccoli e chiari fatti possono essere usati per dimostrare che, se conosci i componenti, puoi eliminare la necessità di theta interamente con l'equazione (bidimensionale):

un' * B = un'_X B_X + un'_y B_y

Il prodotto vettoriale è scritto nel modulo un' X Be di solito viene chiamato prodotto incrociato di due vettori. In questo caso, stiamo moltiplicando i vettori e invece di ottenere una quantità scalare, otterremo una quantità vettoriale. Questo è il più complicato dei calcoli vettoriali che tratteremo, così com'è non commutativo e comporta l'uso del temuto regola della mano destra, che arriverò tra poco.

Ancora una volta, consideriamo due vettori disegnati dallo stesso punto, con l'angolo theta fra loro. Prendiamo sempre l'angolo più piccolo, quindi theta sarà sempre compreso tra 0 e 180 e il risultato non sarà mai negativo. L'entità del vettore risultante è determinata come segue:

Se c = un' X B, poi c = ab peccato theta

Il prodotto vettoriale di vettori paralleli (o antiparalleli) è sempre zero

Il prodotto vettoriale sarà perpendicolare al piano creato da quei due vettori. Se immagini il piano come piano su un tavolo, la domanda diventa se il vettore risultante va su (il nostro "fuori" dal tavolo, dalla nostra prospettiva) o giù (o "nel" tavolo, dal nostro prospettiva).

Per capirlo, devi applicare quello che viene chiamato regola della mano destra. Quando ho studiato fisica a scuola, io detestato la regola della mano destra. Ogni volta che l'ho usato, ho dovuto estrarre il libro per cercare come funzionava. Spero che la mia descrizione sia un po 'più intuitiva di quella a cui sono stato presentato.

Se hai un' X B posizionerai la mano destra per tutta la lunghezza di B in modo che le dita (tranne il pollice) possano curvare per puntare lungo un'. In altre parole, stai cercando di creare l'angolazione theta tra il palmo e le quattro dita della mano destra. Il pollice, in questo caso, si attaccherà verso l'alto (o fuori dallo schermo, se si tenta di farlo fino al computer). Le nocche saranno approssimativamente allineate con il punto iniziale dei due vettori. La precisione non è essenziale, ma voglio che tu abbia l'idea poiché non ho una foto di questo da fornire.

Se, tuttavia, stai considerando B X un', farai il contrario. Ti metterai la mano destra un' e punta le dita B. Se provi a farlo sullo schermo del computer, lo troverai impossibile, quindi usa la tua immaginazione. Scoprirai che, in questo caso, il tuo pollice immaginario punta verso lo schermo del computer. Questa è la direzione del vettore risultante.

La regola della mano destra mostra la seguente relazione:

un' X B = - B X un'

CABC

c_X = un'_y B_z - un'_z B_y
c_y = un'_z B_X - un'_X B_z
c_z = un'_X B_y - un'_y B_X

abc_Xc_yc

A livelli più alti, i vettori possono diventare estremamente complessi con cui lavorare. Interi corsi al college, come l'algebra lineare, dedicano molto tempo alle matrici (che ho gentilmente evitato in questa introduzione), ai vettori e spazi vettoriali. Questo livello di dettaglio va oltre lo scopo di questo articolo, ma ciò dovrebbe fornire le basi necessarie per la maggior parte della manipolazione vettoriale che viene eseguita in classe di fisica. Se hai intenzione di studiare la fisica in modo più approfondito, ti verranno introdotti i concetti vettoriali più complessi mentre procedi con la tua istruzione.