Un modo popolare per studiare la probabilità è tirare i dadi. Un dado standard ha sei lati stampati con piccoli punti numerati 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se il dado è giusto (e lo faremo assumere che tutti sono), quindi ciascuno di questi risultati è ugualmente probabile. Poiché ci sono sei possibili esiti, la probabilità di ottenere qualsiasi lato del dado è 1/6. La probabilità di ottenere un 1 è 1/6, la probabilità di ottenere un 2 è 1/6 e così via. Ma cosa succede se aggiungiamo un altro dado? Quali sono le probabilità di tirare due dadi?
Probabilità di lancio dei dadi
Per determinare correttamente la probabilità di un tiro di dadi, dobbiamo sapere due cose:
- La dimensione del spazio campione o l'insieme dei possibili esiti totali
- Con quale frequenza si verifica un evento
Nel probabilità, un evento è un determinato sottoinsieme dello spazio campione. Ad esempio, quando viene lanciato solo un dado, come nell'esempio sopra, lo spazio campione è uguale a tutti i valori sul dado o sul set (1, 2, 3, 4, 5, 6). Poiché il dado è giusto, ogni numero nel set si presenta una sola volta. In altre parole, la frequenza di ciascun numero è 1. Per determinare la probabilità di far rotolare uno qualsiasi dei numeri sul dado, dividiamo la frequenza dell'evento (1) per la dimensione dello spazio del campione (6), risultando in una probabilità di 1/6.
Lanciare due dadi equi più che raddoppia la difficoltà di calcolare le probabilità. Questo perché tirare un dado è indipendente dal lanciare un secondo dado. Un tiro non ha alcun effetto sull'altro. Quando abbiamo a che fare con eventi indipendenti usiamo il regola di moltiplicazione. L'uso di un diagramma ad albero dimostra che ci sono 6 x 6 = 36 possibili esiti dal lancio di due dadi.
Supponiamo che il primo dado che tiriamo arrivi come 1. L'altro tiro di dado potrebbe essere 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Supponiamo ora che il primo dado sia un 2. L'altro tiro di dado potrebbe essere 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Abbiamo già trovato 12 potenziali esiti e non abbiamo ancora esaurito tutte le possibilità del primo dado.
Tabella delle probabilità di lancio di due dadi
I possibili risultati del lancio di due dadi sono rappresentati nella tabella seguente. Si noti che il numero di esiti totali possibili è uguale allo spazio campione del primo dado (6) moltiplicata dallo spazio campione del secondo dado (6), che è 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre o più dadi
Lo stesso principio si applica se stiamo lavorando problemi che coinvolgono tre dadi. Moltiplichiamo e vediamo che ci sono 6 x 6 x 6 = 216 possibili esiti. Quando diventa complicato scrivere la moltiplicazione ripetuta, possiamo usare esponenti per semplificare il lavoro. Per due dadi, ci sono 62 possibili esiti. Per tre dadi, ci sono 63 possibili esiti. In generale, se rotoliamo n dadi, quindi ci sono un totale di 6n possibili esiti.
Problemi di esempio
Con questa conoscenza, possiamo risolvere tutti i tipi di problemi di probabilità:
1. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che la somma dei due dadi sia sette?
Il modo più semplice per risolvere questo problema è consultare la tabella sopra. Noterai che in ogni riga c'è un tiro di dadi in cui la somma dei due dadi è uguale a sette. Poiché ci sono sei file, ci sono sei possibili esiti in cui la somma dei due dadi è uguale a sette. Il numero di esiti totali possibili rimane 36. Ancora una volta, troviamo la probabilità dividendo la frequenza dell'evento (6) per la dimensione dello spazio del campione (36), risultando in una probabilità di 1/6.
2. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che la somma dei due dadi è tre?
Nel problema precedente, potresti aver notato che le celle in cui la somma dei due dadi è uguale a sette formano una diagonale. Lo stesso vale qui, tranne che in questo caso ci sono solo due celle in cui la somma dei dadi è tre. Questo perché ci sono solo due modi per ottenere questo risultato. Devi tirare un 1 e un 2 oppure devi tirare un 2 e un 1. Le combinazioni per ottenere una somma di sette sono molto maggiori (1 e 6, 2 e 5, 3 e 4 e così via). Per trovare la probabilità che la somma dei due dadi sia tre, possiamo dividere la frequenza dell'evento (2) per la dimensione dello spazio del campione (36), risultando in una probabilità di 1/18.
3. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che il numeri sui dadi sono diversi?
Ancora una volta, possiamo facilmente risolvere questo problema consultando la tabella sopra. Noterai che le celle in cui i numeri sui dadi sono uguali formano una diagonale. Ce ne sono solo sei, e una volta che li attraversiamo abbiamo le celle rimanenti in cui i numeri sui dadi sono diversi. Possiamo prendere il numero di combinazioni (30) e dividerlo per la dimensione dello spazio del campione (36), con una probabilità di 5/6.