Una cosa fantastica della matematica è il modo in cui aree apparentemente non correlate della materia si incontrano in modi sorprendenti. Un'istanza di questo è l'applicazione di un'idea dal calcolo al campana curva. Uno strumento di calcolo noto come derivato viene utilizzato per rispondere alla seguente domanda. Dove sono i punti di flesso sul grafico della funzione di densità di probabilità per il normale distribuzione?
Le curve hanno una varietà di funzioni che possono essere classificate e classificate. Un elemento relativo alle curve che possiamo considerare è se il grafico di una funzione sta aumentando o diminuendo. Un'altra caratteristica riguarda qualcosa noto come concavità. Questo può essere approssimativamente considerato come la direzione verso cui una parte della curva è rivolta. Più concavità formale è la direzione della curvatura.
Si dice che una parte di una curva sia concava verso l'alto se ha la forma della lettera U. Una parte di una curva è concava verso il basso se ha la forma del seguente ∩. È facile ricordare come appare se pensiamo a una grotta che si apre verso l'alto per il concavo verso l'alto o verso il basso per il concavo verso il basso. Un punto di flesso è dove una curva cambia concavità. In altre parole, è un punto in cui una curva va da concava in su a concava in basso, o viceversa.
Nel calcolo la derivata è uno strumento che viene utilizzato in vari modi. Mentre l'uso più noto della derivata è determinare l'inclinazione di una linea tangente ad una curva in un determinato punto, esistono altre applicazioni. Una di queste applicazioni ha a che fare con la ricerca di punti di flesso del grafico di una funzione.
Se il grafico di y = f (x) ha un punto di flesso a x = a, quindi la seconda derivata di f valutato a un' è zero. Scriviamo questo in notazione matematica come fa ) = 0. Se la seconda derivata di una funzione è zero in un punto, ciò non implica automaticamente che abbiamo trovato un punto di flesso. Tuttavia, possiamo cercare potenziali punti di flesso vedendo dove la seconda derivata è zero. Useremo questo metodo per determinare la posizione dei punti di flesso della distribuzione normale.
Da questo è facile vedere che i punti di flesso si verificano dove x = μ ± σ. In altre parole, i punti di flesso si trovano una deviazione standard sopra la media e una deviazione standard sotto la media.