Intervallo di confidenza per una media quando conosciamo Sigma

Nel statistica inferenziale, uno dei principali obiettivi è stimare uno sconosciuto popolazioneparametro. Inizi con un campione statisticoe da questo, è possibile determinare un intervallo di valori per il parametro. Questo intervallo di valori è chiamato a intervallo di confidenza.

Gli intervalli di confidenza sono tutti simili tra loro in alcuni modi. Innanzitutto, molti intervalli di confidenza bilaterali hanno la stessa forma:

Stima ± Margine di errore

In secondo luogo, i passaggi per il calcolo degli intervalli di confidenza sono molto simili, indipendentemente dal tipo di intervallo di confidenza che si sta tentando di trovare. Il tipo specifico di intervallo di confidenza che verrà esaminato di seguito è un intervallo di confidenza bilaterale per una media della popolazione quando si conosce la popolazione deviazione standard. Inoltre, supponi che stai lavorando con una popolazione che lo è normalmente distribuito.

Di seguito è riportato un processo per trovare l'intervallo di confidenza desiderato. Sebbene tutti i passaggi siano importanti, il primo è particolarmente vero:

1. Controlla le condizioni: Inizia assicurandoti che siano soddisfatte le condizioni per il tuo intervallo di confidenza. Supponiamo di conoscere il valore della deviazione standard della popolazione, indicato da Lettera greca sigma σ. Inoltre, supponi una distribuzione normale.
2. Calcola la stima: Stimare il parametro popolazione - in questo caso, la media della popolazione - usando una statistica, che in questo problema è la media del campione. Ciò comporta la formazione di un semplice campione casuale dalla popolazione. A volte, puoi supporre che il tuo campione sia a semplice campione casuale, anche se non soddisfa la definizione rigorosa.
3. Valore critico: Ottenere il valore critico z^* che corrisponde al tuo livello di confidenza. Questi valori si trovano consultando a tabella dei punteggi z o usando il software. È possibile utilizzare una tabella dei punteggi z perché si conosce il valore della deviazione standard della popolazione e si presuppone che la popolazione sia normalmente distribuita. I valori critici comuni sono 1.645 per un livello di confidenza del 90 percento, 1.960 per un livello di confidenza del 95 percento e 2.576 per un livello di confidenza del 99 percento.
4. Margine di errore: Calcola il margine di errore z^* σ /√n, dove n è la dimensione del semplice campione casuale che hai formato.
5. Concludere: Termina mettendo insieme la stima e il margine di errore. Questo può essere espresso come uno dei due Stima ± Margine di errore o come Stima: margine di errore per Stima + margine di errore. Assicurati di dichiarare chiaramente il livello di fiducia che è attaccato al tuo intervallo di confidenza.

Per vedere come puoi costruire un intervallo di confidenza, fai un esempio. Supponiamo che tu sappia che i punteggi QI di tutte le matricole del college in arrivo sono normalmente distribuiti con una deviazione standard di 15. Hai un semplice campione casuale di 100 matricole e il punteggio QI medio per questo campione è 120. Trova un intervallo di confidenza del 90 percento per il punteggio QI medio per l'intera popolazione delle matricole universitarie in arrivo.

Esegui i passaggi descritti in precedenza:

1. Controlla le condizioni: Le condizioni sono state soddisfatte da quando ti è stato detto che la deviazione standard della popolazione è 15 e che hai a che fare con una distribuzione normale.
2. Calcola la stima: Ti è stato detto che hai un semplice campione casuale di dimensioni 100. Il QI medio per questo campione è 120, quindi questa è la tua stima.
3. Valore critico: Il valore critico per un livello di confidenza del 90 percento è dato da z^* = 1.645.
4. Margine di errore: Uso il margine della formula dell'errore e ottenere un errore di z^* σ /√n = (1.645)(15) /√(100) = 2.467.
5. Concludere: Concludere mettendo tutto insieme. Un intervallo di confidenza del 90 percento per il punteggio QI medio della popolazione è 120 ± 2.467. In alternativa, è possibile dichiarare questo intervallo di confidenza tra 117.5325 e 122.4675.

Gli intervalli di confidenza del tipo sopra non sono molto realistici. È molto raro conoscere la deviazione standard della popolazione ma non conoscere la media della popolazione. Ci sono modi in cui questa ipotesi non realistica può essere rimossa.

Mentre hai assunto una distribuzione normale, questa ipotesi non deve essere mantenuta. Bei campioni, che esibiscono non forte asimmetria o hanno valori anomali, insieme a una dimensione del campione abbastanza grande, consentono di invocare il file teorema del limite centrale. Di conseguenza, è giustificato utilizzare una tabella di punteggi z, anche per popolazioni che non sono normalmente distribuite.