Definizione e utilizzo dell'Unione in matematica

Un'operazione che viene spesso utilizzata per formare nuovi set da quelli vecchi si chiama unione. Nell'uso comune, la parola unione significa un incontro, come i sindacati nel lavoro organizzato o il Stato dell'unione indirizzo che gli Stati Uniti Presidente fa prima di una sessione congiunta del Congresso. In senso matematico, l'unione di due insiemi mantiene l'idea di riunire. Più precisamente, l'unione di due set UN e B è l'insieme di tutti gli elementi X tale che X è un elemento dell'insieme UN o X è un elemento dell'insieme B. La parola che indica che stiamo usando un'unione è la parola "o".

Quando usiamo la parola "o" nelle conversazioni quotidiane, potremmo non renderci conto che questa parola viene utilizzata in due modi diversi. Il modo in cui viene generalmente dedotto dal contesto della conversazione. Se ti chiedessero "Vorresti il ​​pollo o la bistecca?" la consueta conseguenza è che potresti avere l'uno o l'altro, ma non entrambi. In contrasto con la domanda: "Vorresti burro o panna acida sulla patata al forno?" Qui "o" è usato in senso inclusivo in quanto si poteva scegliere solo burro, solo panna acida o burro e acido crema.

In matematica, la parola "o" è usata in senso inclusivo. Quindi l'affermazione "X è un elemento di UN o un elemento di B"significa che uno dei tre è possibile:

• X è un elemento di giusto UN e non un elemento di B
• X è un elemento di giusto B e non un elemento di UN.
• X è un elemento di entrambi UN e B. (Potremmo anche dirlo X è un elemento dell'intersezione di UN e B

Per un esempio di come l'unione di due set formi un nuovo set, consideriamo i set UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Per trovare l'unione di questi due set, elenchiamo semplicemente ogni elemento che vediamo, facendo attenzione a non duplicare alcun elemento. I numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sono in una serie o nell'altra, quindi l'unione di UN e B è {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Oltre a comprendere i concetti relativi alle operazioni di teoria degli insiemi, è importante essere in grado di leggere i simboli utilizzati per indicare queste operazioni. Il simbolo utilizzato per l'unione dei due set UN e B è dato da UN ∪ B. Un modo per ricordare il simbolo ∪ si riferisce all'unione è notare la sua somiglianza con una U maiuscola, che è abbreviazione di "unione". Fai attenzione, perché il simbolo per l'unione è molto simile al simbolo per intersezione. Uno è ottenuto dall'altro da una vibrazione verticale.

Per vedere questa notazione in azione, fare riferimento all'esempio sopra. Qui abbiamo avuto i set UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Quindi scriveremmo l'equazione impostata UN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.

Un'identità di base che coinvolge l'unione ci mostra cosa succede quando prendiamo l'unione di qualsiasi set con l'insieme vuoto, indicato da # 8709. Il set vuoto è il set senza elementi. Quindi unire questo a qualsiasi altro set non avrà alcun effetto. In altre parole, l'unione di qualsiasi set con il set vuoto ci restituirà il set originale

Questa identità diventa ancora più compatta con l'uso della nostra notazione. Abbiamo l'identità: UN ∪ ∅ = UN.

Per l'altro estremo, cosa succede quando esaminiamo il unione di un set con il set universale? Poiché l'insieme universale contiene ogni elemento, non possiamo aggiungere nient'altro a questo. Quindi l'unione o qualsiasi set con il set universale è il set universale.

Ancora una volta la nostra notazione ci aiuta a esprimere questa identità in un formato più compatto. Per qualsiasi set UN e il set universale U, UN ∪ U = U.

Esistono molte altre identità stabilite che implicano l'uso dell'operazione sindacale. Certo, è sempre bello pratica usando il linguaggio della teoria degli insiemi. Alcuni dei più importanti sono indicati di seguito. Per tutti i set UN, e B e D noi abbiamo:

• Proprietà riflessiva: UN ∪ UN =UN
• Proprietà commutativa: UN ∪ B = B ∪ UN
• Proprietà associativa: (UN ∪ B) ∪ D =UN ∪ (B ∪ D)
• Legge di DeMorgan I: (UN ∩ B)^C = UN^C ∪ B^C
• Legge II di DeMorgan: (UN ∪ B)^C = UN^C ∩ B^C