Test di ipotesi per il confronto di due proporzioni

In questo articolo esamineremo i passaggi necessari per eseguire un test di ipotesi, o test di significato, per la differenza di due proporzioni della popolazione. Questo ci consente di confrontare due proporzioni sconosciute e dedurre se non sono uguali tra loro o se uno è maggiore di un altro.

Prima di entrare nei dettagli del nostro test di ipotesi, esamineremo il quadro dei test di ipotesi. In una prova di significato cerchiamo di dimostrare che un'affermazione riguardante il valore di una popolazione parametro (o talvolta la natura della popolazione stessa) è probabile che sia vera.

Accumuliamo prove per questa affermazione conducendo a campione statistico. Calcoliamo una statistica da questo campione. Il valore di questa statistica è ciò che usiamo per determinare la verità dell'affermazione originale. Questo processo contiene incertezza, tuttavia siamo in grado di quantificare questa incertezza

Il processo generale per un test di ipotesi è fornito dall'elenco seguente:

1. Assicurarsi che siano soddisfatte le condizioni necessarie per il nostro test.
2. Indicare chiaramente il ipotesi nulle e alternative. L'ipotesi alternativa può comportare un test unilaterale o bilaterale. Dovremmo anche determinare il livello di significatività, che sarà indicato dalla lettera greca alfa.
3. Calcola la statistica del test. Il tipo di statistica che utilizziamo dipende dal particolare test che stiamo conducendo. Il calcolo si basa sul nostro campione statistico.
4. Calcola il p-value. La statistica del test può essere tradotta in un valore p. Un valore p è la probabilità della probabilità da solo a produrre il valore della nostra statistica di test partendo dal presupposto che l'ipotesi nulla sia vera. La regola generale è che minore è il valore p, maggiore è l'evidenza rispetto all'ipotesi nulla.
5. Trarre una conclusione. Infine utilizziamo il valore di alfa che era già selezionato come valore di soglia. La regola decisionale è che se il valore p è inferiore o uguale a alfa, respingiamo l'ipotesi nulla. Altrimenti noi non riescono a rifiutare l'ipotesi nulla.

Ora che abbiamo visto il quadro per un test di ipotesi, vedremo i dettagli per un test di ipotesi per la differenza di due proporzioni della popolazione.

Un test di ipotesi per la differenza di due proporzioni della popolazione richiede che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

• Ne abbiamo due semplici campioni casuali da grandi popolazioni. Qui "grande" significa che la popolazione è almeno 20 volte più grande della dimensione del campione. Le dimensioni del campione saranno indicate da n₁ e n₂.
• Gli individui nei nostri campioni sono stati scelti indipendentemente l'uno dall'altro. Anche le popolazioni stesse devono essere indipendenti.
• Ci sono almeno 10 successi e 10 fallimenti in entrambi i nostri campioni.

Finché queste condizioni sono state soddisfatte, possiamo continuare con il nostro test di ipotesi.

Ora dobbiamo considerare le ipotesi per la nostra prova di significato. L'ipotesi nulla è la nostra affermazione di nessun effetto. In questo particolare tipo di test di ipotesi la nostra ipotesi nulla è che non vi sia alcuna differenza tra le due proporzioni della popolazione. Possiamo scrivere questo come H.₀: p₁ = p₂.

L'ipotesi alternativa è una delle tre possibilità, a seconda delle specifiche di ciò per cui stiamo testando:

• H_un': p₁ è più grande di p₂. Questo è un test a una coda o unilaterale.
• H_un': p₁ è meno di p₂. Questo è anche un test unilaterale.
• H_un': p₁ non è uguale a p₂. Questo è un a due code o test su due lati.

Come sempre, per essere cauti, dovremmo usare l'ipotesi alternativa su due lati se non abbiamo in mente una direzione prima di ottenere il nostro campione. La ragione di ciò è che è più difficile rifiutare l'ipotesi nulla con un test a due facce.

Le tre ipotesi possono essere riscritte affermando come p₁ - p₂ è correlato al valore zero. Per essere più specifici, l'ipotesi nulla diventerebbe H₀:p₁ - p₂ = 0. Le potenziali ipotesi alternative sarebbero scritte come:

• H_un': p₁ - p₂ > 0 equivale alla frase "p₁ è più grande di p₂."
• H_un': p₁ - p₂ <0 equivale alla frase "p₁ è meno di p₂."
• H_un': p₁ - p₂ ≠ 0 equivale alla frase "p₁ non è uguale a p₂."

Questa formulazione equivalente in realtà ci mostra un po 'di più di ciò che sta accadendo dietro le quinte. Quello che stiamo facendo in questo test di ipotesi è trasformare i due parametri p₁ e p₂ nel singolo parametro p₁ - p_2. Quindi testiamo questo nuovo parametro rispetto al valore zero.

La formula per la statistica del test è riportata nell'immagine sopra. Segue una spiegazione di ciascuno dei termini:

• Il campione della prima popolazione ha dimensioni n_1. Il numero di successi da questo campione (che non è visto direttamente nella formula sopra) è K_1.
• Il campione della seconda popolazione ha dimensioni n_2. Il numero di successi da questo esempio è K_2.
• Le proporzioni del campione sono pag₁-cappello = k₁ / n₁ e p₂-hat = k₂ / n₂ .
• Quindi combiniamo o raggruppiamo i successi di entrambi questi campioni e otteniamo: p-hat = (k₁ + k₂) / (n₁ + n₂).

Come sempre, prestare attenzione all'ordine delle operazioni durante il calcolo. Tutto sotto il radicale deve essere calcolato prima di prendere la radice quadrata.

Il prossimo passo è calcolare il valore p che corrisponde alla nostra statistica di test. Usiamo una distribuzione normale standard per la nostra statistica e consultiamo una tabella di valori o utilizziamo software statistico.

I dettagli del nostro calcolo del valore p dipendono dall'ipotesi alternativa che stiamo usando:

• Per H_un': p₁ - p₂ > 0, calcoliamo la proporzione della distribuzione normale che è maggiore di Z.
• Per H_un': p₁ - p₂ <0, calcoliamo la proporzione della distribuzione normale che è inferiore a Z.
• Per H_un': p₁ - p₂ ≠ 0, calcoliamo la proporzione della distribuzione normale che è maggiore di |Z|, il valore assoluto di Z. Dopo questo, per tenere conto del fatto che abbiamo un test a due code, raddoppiamo la proporzione.

Ora prendiamo una decisione se rifiutare l'ipotesi nulla (e quindi accettare l'alternativa) o non rifiutare l'ipotesi nulla. Prendiamo questa decisione confrontando il nostro valore p con il livello di significatività alfa.

• Se il valore p è inferiore o uguale a alfa, respingiamo l'ipotesi nulla. Ciò significa che abbiamo un risultato statisticamente significativo e che accetteremo l'ipotesi alternativa.
• Se il valore p è maggiore di alfa, non riusciamo a respingere l'ipotesi nulla. Ciò non dimostra che l'ipotesi nulla sia vera. Invece significa che non abbiamo ottenuto prove sufficienti convincenti per respingere l'ipotesi nulla.

Il intervallo di confidenza per la differenza di due proporzioni della popolazione non mette insieme i successi, mentre lo fa il test di ipotesi. La ragione di ciò è che la nostra ipotesi nulla lo presuppone p₁ - p₂ = 0. L'intervallo di confidenza non assume questo. Alcuni statistici non mettono in comune i successi di questo test di ipotesi e usano invece una versione leggermente modificata della suddetta statistica di test.