Funzioni esponenziali raccontare storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono la crescita esponenziale e il decadimento esponenziale. Quattro variabili (variazione percentuale, tempo, importo all'inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo) svolgono ruoli in funzioni esponenziali. Utilizzare una funzione di decadimento esponenziale per trovare l'importo all'inizio del periodo di tempo.
Decadimento esponenziale
Il decadimento esponenziale è la variazione che si verifica quando un importo originale viene ridotto di un tasso costante per un periodo di tempo.
Ecco una funzione di decadimento esponenziale:
y = un(1-b)X
- y: Importo finale rimanente dopo il decadimento per un periodo di tempo
- un': L'importo originale
- X: Tempo
- Il fattore di decadimento è (1-B)
- La variabile B è la percentuale della diminuzione in forma decimale.
Scopo di trovare l'importo originale
Se stai leggendo questo articolo, allora probabilmente sei ambizioso. Tra sei anni, forse vuoi perseguire un
laurea alla Dream University. Con un prezzo di $ 120.000, la Dream University evoca terrori finanziari notturni. Dopo notti insonni, tu, mamma e papà incontriamo un pianificatore finanziario. Gli occhi iniettati di sangue dei tuoi genitori si chiariscono quando il pianificatore rivela che un investimento con un tasso di crescita dell'8% può aiutare la tua famiglia a raggiungere l'obiettivo di $ 120.000. Studia sodo. Se tu e i tuoi genitori investite $ 75.620,36 oggi, Dream University diventerà la vostra realtà grazie al decadimento esponenziale.Come risolvere
Questa funzione descrive la crescita esponenziale dell'investimento:
120,000 = un'(1 +.08)6
- 120.000: importo finale rimanente dopo 6 anni
- .08: tasso di crescita annuale
- 6: il numero di anni per far crescere l'investimento
- un': L'importo iniziale investito dalla tua famiglia
Grazie alla proprietà simmetrica dell'uguaglianza, 120.000 = un'(1 +.08)6 equivale a un'(1 +.08)6 = 120,000. La proprietà simmetrica dell'uguaglianza afferma che se 10 + 5 = 15, quindi 15 = 10 + 5.
Se preferisci riscrivere l'equazione con la costante (120.000) a destra dell'equazione, allora fallo.
un'(1 +.08)6 = 120,000
Concesso, l'equazione non sembra un equazione lineare (6un' = $ 120.000), ma è risolvibile. Insisti!
un'(1 +.08)6 = 120,000
Non risolvere questa equazione esponenziale dividendo 120.000 per 6. È una tentazione matematica no-no.
1. Utilizzare l'ordine delle operazioni per semplificare
un'(1 +.08)6 = 120,000
un'(1.08)6 = 120.000 (parentesi)
un'(1.586874323) = 120.000 (Esponente)
2. Risolvi da demarcazione
un'(1.586874323) = 120,000
un'(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1un' = 75,620.35523
un' = 75,620.35523
L'importo originale da investire è di circa $ 75.620,36.
3. Congela: non hai ancora finito; usa l'ordine delle operazioni per controllare la tua risposta
120,000 = un'(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parentesi)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (esponente)
120.000 = 120.000 (moltiplicazione)
Risposte e spiegazioni alle domande
Woodforest, Texas, un sobborgo di Houston, è determinato a colmare il divario digitale nella sua comunità. Alcuni anni fa, i leader della comunità hanno scoperto che i loro cittadini erano analfabeti di computer. Non avevano accesso al Internet e sono stati esclusi dalla superstrada delle informazioni. I leader hanno creato il World Wide Web on Wheels, un insieme di postazioni mobili per computer.
World Wide Web on Wheels ha raggiunto il suo obiettivo di soli 100 cittadini analfabeti di computer nella foresta. I leader della comunità hanno studiato i progressi mensili del World Wide Web on Wheels. Secondo i dati, il declino dei cittadini analfabeti informatici può essere descritto dalla seguente funzione:
100 = un'(1 - .12)10
1. Quante persone sono analfabete dai computer a 10 mesi dall'avvio del World Wide Web on Wheels?
- 100 persone
Confronta questa funzione con la funzione di crescita esponenziale originale:
100 = un'(1 - .12)10
y = un(1 + b)X
Il variabiley rappresenta il numero di analfabeti di computer alla fine di 10 mesi, quindi 100 persone sono ancora analfabete di computer dopo che il World Wide Web on Wheels ha iniziato a lavorare nella comunità.
2. Questa funzione rappresenta il decadimento esponenziale o la crescita esponenziale?
- Questa funzione rappresenta il decadimento esponenziale perché un segno negativo si trova davanti alla variazione percentuale (.12).
3. Qual è il tasso di variazione mensile?
- 12 percento
4. Quante persone erano analfabete dai computer 10 mesi fa, all'inizio del World Wide Web on Wheels?
- 359 persone
Usoordine delle operazioni per semplificare.
100 = un'(1 - .12)10
100 = un'(.88)10 (Parentesi)
100 = un'(.278500976) (Esponente)
Dividi per risolvere.
100(.278500976) = un'(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1un'
359.0651689 = un'
Utilizzare l'ordine delle operazioni per verificare la risposta.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parentesi)
100 = 359.0651689 (.278500976) (esponente)
100 = 100 (Moltiplica)
5. Se queste tendenze continuano, quante persone saranno analfabete al computer a 15 mesi dall'avvio del World Wide Web on Wheels?
- 52 persone
Aggiungi ciò che sai sulla funzione.
y = 359.0651689(1 - .12) X
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Usa Ordine delle operazioni per trovare y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parentesi)
y = 359.0651689 (.146973854) (esponente)
y = 52.77319167 (moltiplicare).