La probabilità di lanciare uno Yahtzee

Yahtzee è un gioco di dadi che coinvolge una combinazione di possibilità e strategia. Un giocatore inizia il proprio turno lanciando cinque dadi. Dopo questo lancio, il giocatore può decidere di ripetere il tiro di qualsiasi numero di dadi. Al massimo, ci sono un totale di tre tiri per turno. Dopo questi tre tiri, il risultato dei dadi viene inserito in un foglio di punteggio. Questo foglio di punteggio contiene diverse categorie, come ad esempio a tutto esaurito o grande rettilineo. Ciascuna delle categorie è soddisfatta con diverse combinazioni di dadi.

La categoria più difficile da compilare è quella di uno Yahtzee. Uno Yahtzee si verifica quando un giocatore lancia cinque dello stesso numero. Quanto è improbabile uno Yahtzee? Questo è un problema che è molto più complicato della ricerca di probabilità per Due o anche tre dadi. Il motivo principale è che ci sono molti modi per ottenere cinque dadi corrispondenti durante tre tiri.

Possiamo calcolare la probabilità di lanciare uno Yahtzee usando la formula combinatoria per le combinazioni e suddividendo il problema in diversi

Il caso più semplice da considerare è ottenere uno Yahtzee immediatamente sul primo tiro. Vedremo prima il probabilità di far rotolare un particolare Yahtzee di cinque due, e quindi estenderlo facilmente alla probabilità di qualsiasi Yahtzee.

La probabilità di tirare un due è 1/6 e il risultato di ogni dado è indipendente dal resto. Quindi la probabilità di ottenere cinque doppi è (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilità di ottenere cinque di un tipo di qualsiasi altro numero è anche 1/7776. Dato che ci sono un totale di sei numeri diversi su un dado, moltiplichiamo la probabilità sopra per 6.

Ciò significa che la probabilità di uno Yahtzee sul primo tiro è 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 percento.

Se lanciamo qualcosa di diverso da cinque di un tipo del primo lancio, dovremo ritirare alcuni dei nostri dadi per provare a ottenere uno Yahtzee. Supponiamo che il nostro primo lancio ne abbia quattro. vorremmo ripetere il tiro di un dado che non corrisponde e quindi ottenere uno Yahtzee in questo secondo tiro.

La probabilità di ottenere un totale di cinque due in questo modo si trova come segue:

1. Al primo tiro, abbiamo quattro due. Poiché esiste una probabilità 1/6 di ottenere un due e 5/6 di non ottenere un due, moltiplichiamo (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Uno dei cinque dadi rotolati potrebbe essere il non-due. Usiamo la nostra formula di combinazione per C (5, 1) = 5 per contare quanti modi possiamo tirare quattro o due e qualcosa che non è un due.
3. Moltiplichiamo e vediamo che la probabilità di ottenere esattamente quattro doppi sul primo lancio è 25/7776.
4. Nel secondo tiro, dobbiamo calcolare la probabilità di rotolare uno due. Questo è 1/6. Quindi la probabilità di ottenere uno Yahtzee di due nel modo sopra è (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Per trovare la probabilità di lanciare uno Yahtzee in questo modo si trova moltiplicando la probabilità sopra per 6 perché ci sono sei numeri diversi su un dado. Ciò dà una probabilità di 6 x 25/46656 = 0,32 percento.

Ma questo non è l'unico modo per tirare uno Yahtzee con due tiri. Tutte le seguenti probabilità si trovano più o meno allo stesso modo di cui sopra:

• Potremmo tirare tre di un tipo, e poi due dadi che corrispondono al nostro secondo lancio. La probabilità di ciò è 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 percento.
• Potremmo tirare una coppia corrispondente e sul nostro secondo tiro tre dadi corrispondenti. La probabilità di ciò è 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 percento.
• Potremmo lanciare cinque dadi diversi, salvare un dado dal nostro primo lancio, quindi tirare quattro dadi corrispondenti al secondo lancio. La probabilità di ciò è (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 percento.

I casi precedenti si escludono a vicenda. Ciò significa che per calcolare la probabilità di lanciare uno Yahtzee in due tiri, sommiamo insieme le probabilità di cui sopra e abbiamo circa l'1,23 percento.

Per la situazione più complicata, esamineremo ora il caso in cui utilizziamo tutti e tre i nostri tiri per ottenere uno Yahtzee. Potremmo farlo in diversi modi e dobbiamo tener conto di tutti loro.

Le probabilità di queste possibilità sono calcolate di seguito:

• La probabilità di tirare quattro di un tipo, quindi nulla, quindi abbinare l'ultimo dado sull'ultimo tiro è 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 per cento.
• La probabilità di lanciare tre di un tipo, quindi nulla, quindi corrispondere con la coppia corretta sull'ultimo tiro è 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 per cento.
• La probabilità di far rotolare una coppia corrispondente, quindi nulla, quindi corrispondere con il tris corretto sul terzo tiro è 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 percento.
• La probabilità di lanciare un singolo dado, quindi nulla di simile a questo, quindi corrispondere con i quattro del tipo corretto sul terzo tiro è (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 percento.
• La probabilità di tirare tre di un tipo, abbinando un dado aggiuntivo al tiro successivo, seguito da la corrispondenza del quinto dado sul terzo tiro è 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 per cento.
• La probabilità di lanciare una coppia, abbinando una coppia aggiuntiva al tiro successivo, seguita dall'abbinamento il quinto dado sul terzo tiro è 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 per cento.
• La probabilità di tirare una coppia, abbinando un dado aggiuntivo al tiro successivo, seguito dall'abbinamento di gli ultimi due dadi sul terzo tiro sono 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 percento.
• La probabilità di tirare un tipo, un altro dado per abbinarlo sul secondo tiro, e quindi un tris sul terzo tiro è (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 percento.
• La probabilità di tirare un tipo, un tris per abbinarsi al secondo tiro, seguita da un incontro sul terzo tiro è (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 percento.
• La probabilità di ottenere un tiro unico nel suo genere, una coppia da abbinare al secondo tiro, e quindi un'altra coppia da abbinare al terzo tiro è (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 percento.

Aggiungiamo tutte le probabilità di cui sopra per determinare la probabilità di tirare uno Yahtzee in tre tiri di dado. Questa probabilità è del 3,43 per cento.

La probabilità di uno Yahtzee in un tiro è dello 0,08 percento, la probabilità di uno Yahtzee in due tiri è dell'1,23 percento e la probabilità di uno Yahtzee in tre tiri è del 3,43 percento. Poiché ognuno di questi si esclude a vicenda, sommiamo le probabilità insieme. Ciò significa che la probabilità di ottenere uno Yahtzee in un dato turno è di circa il 4,74 percento. Per metterlo in prospettiva, dato che 1/21 è circa il 4,74 percento, per caso un giocatore dovrebbe aspettarsi uno Yahtzee ogni 21 turni. In pratica, potrebbe essere necessario più tempo poiché una coppia iniziale può essere scartata per ottenere qualcos'altro, come ad esempio a dritto.