Valore atteso per Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck è un gioco d'azzardo. Tre dadi sono arrotolati, a volte in una cornice di filo. A causa di questo frame, questo gioco è anche chiamato gabbia per uccelli. Questo gioco è più spesso visto nei carnevali piuttosto che nei casinò. Tuttavia, a causa dell'uso di dadi casuali, possiamo usare la probabilità per analizzare questo gioco. Più specificamente possiamo calcolare il valore atteso di questo gioco.

Esistono diversi tipi di scommesse su cui è possibile scommettere. Prenderemo in considerazione solo la scommessa con un solo numero. Su questa scommessa scegliamo semplicemente un numero specifico da uno a sei. Quindi lanciamo i dadi. Considera le possibilità. Tutti i dadi, due, uno o nessuno, potrebbero mostrare il numero che abbiamo scelto.

Supponiamo che questo gioco pagherà quanto segue:

• $ 3 se tutti e tre i dadi corrispondono al numero scelto.
• $ 2 se esattamente due dadi corrispondono al numero scelto.
• $ 1 se esattamente uno dei dadi corrisponde al numero scelto.

Se nessuno dei dadi corrisponde al numero scelto, allora dobbiamo pagare $ 1.

Qual è il valore atteso di questo gioco? In altre parole, a lungo termine quanto ci aspetteremmo in media di vincere o perdere se avessimo giocato ripetutamente a questo gioco?

Per trovare il valore atteso di questo gioco dobbiamo determinare quattro probabilità. Queste probabilità corrispondono ai quattro possibili risultati. Notiamo che ogni dado è indipendente dagli altri. A causa di questa indipendenza, usiamo la regola della moltiplicazione. Questo ci aiuterà a determinare il numero di risultati.

Supponiamo anche che i dadi siano equi. Ognuno dei sei lati su ciascuno dei tre dadi ha la stessa probabilità di essere lanciato.

Ci sono 6 x 6 x 6 = 216 possibili esiti dal lancio di questi tre dadi. Questo numero sarà il denominatore di tutte le nostre probabilità.

C'è un modo per abbinare tutti e tre i dadi con il numero scelto.

Esistono cinque modi in cui un singolo dado non corrisponde al numero scelto. Ciò significa che ci sono 5 x 5 x 5 = 125 modi in cui nessuno dei nostri dadi corrisponde al numero scelto.

Se consideriamo esattamente due dei dadi corrispondenti, allora abbiamo un dado che non corrisponde.

• Ci sono 1 x 1 x 5 = 5 modi in cui i primi due dadi corrispondono al nostro numero e il terzo è diverso.
• Ci sono 1 x 5 x 1 = 5 modi in cui il primo e il terzo dado corrispondono, con il secondo diverso.
• Ci sono 5 x 1 x 1 = 5 modi in cui il primo dado è diverso e il secondo e il terzo corrispondono.

Ciò significa che c'è un totale di 15 modi per far corrispondere esattamente due dadi.

Ora abbiamo calcolato il numero di modi per ottenere tutti tranne uno dei nostri risultati. Sono possibili 216 tiri. Abbiamo rappresentato 1 + 15 + 125 = 141 di essi. Ciò significa che restano 216-141 = 75.

Raccogliamo tutte le informazioni di cui sopra e vediamo:

• La probabilità che il nostro numero corrisponda a tutti e tre i dadi è 1/216.
• La probabilità che il nostro numero corrisponda esattamente a due dadi è 15/216.
• La probabilità che il nostro numero corrisponda esattamente a un dado è 75/216.
• La probabilità che il nostro numero non corrisponda a nessuno dei dadi è 125/216.

Ora siamo pronti per calcolare il valore atteso di questa situazione. Il formula per valore atteso ci impone di moltiplicare la probabilità di ciascun evento per l'utile o la perdita netti se si verifica l'evento. Aggiungiamo quindi tutti questi prodotti insieme.

Il calcolo del valore atteso è il seguente:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Questo è circa - $ 0,08. L'interpretazione è che se dovessimo giocare questo gioco ripetutamente, in media perderemmo 8 centesimi ogni volta che giocavamo.