Un semplice esempio di condizionale probabilità è la probabilità che una carta pescata da un mazzo di carte standard sia un re. Esistono un totale di quattro re su 52 carte, quindi la probabilità è semplicemente 4/52. In relazione a questo calcolo è la seguente domanda: "Qual è la probabilità che disegniamo un re dato questo abbiamo già pescato una carta dal mazzo ed è un asso? "Qui consideriamo il contenuto del mazzo di carte. Ci sono ancora quattro re, ma ora ci sono solo 51 carte nel mazzo. La probabilità di pescare un re dato che un asso è già stato pescato è 4/51.
Probabilità condizionale è definita come la probabilità di un evento dato che si è verificato un altro evento. Se chiamiamo questi eventi UN e B, quindi possiamo parlare della probabilità di UN dato B. Potremmo anche riferirci alla probabilità di UN dipendente da B.
Notazione
La notazione per probabilità condizionale varia da libro di testo a libro di testo. In tutte le notazioni, l'indicazione è che la probabilità a cui ci stiamo riferendo dipende da un altro evento. Una delle notazioni più comuni per la probabilità di
UN dato B è P (A | B). Un'altra notazione che viene utilizzata è PB(A).Formula
Esiste una formula per la probabilità condizionale che collega questo alla probabilità di UN e B:
P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)
In sostanza ciò che questa formula sta dicendo è quello di calcolare la probabilità condizionale dell'evento UN dato l'evento B, cambiamo il nostro spazio di campionamento in modo che sia costituito solo dall'insieme B. Nel fare questo, non consideriamo tutto l'evento UN, ma solo la parte di UN che è anche contenuto in B. L'insieme che abbiamo appena descritto può essere identificato in termini più familiari come intersezione di UN e B.
Possiamo usare algebra per esprimere la formula sopra in un modo diverso:
P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)
Esempio
Rivederemo l'esempio con cui abbiamo iniziato alla luce di queste informazioni. Vogliamo sapere la probabilità di pescare un re dato che un asso è già stato pescato. Quindi l'evento UN è che disegniamo un re. Evento B è che disegniamo un asso.
La probabilità che accadano entrambi gli eventi e noi pesciamo un asso e quindi un re corrisponde a P (A ∩ B). Il valore di questa probabilità è 12/2652. La probabilità dell'evento B, che pesciamo un asso è 4/52. Quindi usiamo la formula della probabilità condizionale e vediamo che la probabilità di pescare un re dato che è stato pescato un asso è (16/2652) / (4/52) = 4/51.
Un altro esempio
Per un altro esempio, esamineremo l'esperimento di probabilità in cui siamo tira due dadi. Una domanda che potremmo porci è: "Qual è la probabilità che abbiamo ottenuto un tre, dato che abbiamo ottenuto un importo inferiore a sei?"
Qui l'evento UN è che abbiamo ottenuto un tre e l'evento B è che abbiamo ottenuto una somma inferiore a sei. Ci sono un totale di 36 modi per lanciare due dadi. Di questi 36 modi, possiamo ottenere una somma inferiore a sei in dieci modi:
- 1 + 1 = 2
- 1 + 2 = 3
- 1 + 3 = 4
- 1 + 4 = 5
- 2 + 1 = 3
- 2 + 2 = 4
- 2 + 3 = 5
- 3 + 1 = 4
- 3 + 2 = 5
- 4 + 1 = 5
Eventi indipendenti
Ci sono alcuni casi in cui la probabilità condizionata di UN dato l'evento B è uguale alla probabilità di UN. In questa situazione, diciamo che gli eventi UN e B sono indipendenti l'uno dall'altro. La formula sopra diventa:
P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),
e recuperiamo la formula che per eventi indipendenti la probabilità di entrambi UN e B si trova moltiplicando le probabilità di ciascuno di questi eventi:
P (A ∩ B) = P (B) P (A)
Quando due eventi sono indipendenti, ciò significa che un evento non ha alcun effetto sull'altro. Lanciare una moneta e poi un'altra è un esempio di eventi indipendenti. Il lancio di una moneta non ha alcun effetto sull'altro.
Precauzioni
Fai molta attenzione a identificare quale evento dipende dall'altro. In generale P (A | B) non è uguale a P (B | A). Questa è la probabilità di UN dato l'evento B non è uguale alla probabilità di B dato l'evento UN.
In un esempio sopra abbiamo visto che nel lanciare due dadi, la probabilità di tirare un tre, dato che abbiamo tirato una somma inferiore a sei era 4/10. D'altra parte, qual è la probabilità di ottenere una somma inferiore a sei dato che abbiamo ottenuto un tre? La probabilità di ottenere un tre e una somma inferiore a sei è 4/36. La probabilità di ottenere almeno un tre è 11/36. Quindi la probabilità condizionale in questo caso è (4/36) / (11/36) = 4/11.