Come trovare il valore iniziale di una funzione esponenziale

Le funzioni esponenziali raccontano storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono crescita esponenziale e decadimento esponenziale. Quattro variabili: variazione percentuale, tempo, importo all'inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo svolgono ruoli in funzioni esponenziali. Questo articolo si concentra su come trovare l'importo all'inizio del periodo di tempo, un'.

Crescita esponenziale: il cambiamento che si verifica quando un importo originale viene aumentato di un tasso costante per un periodo di tempo

Crescita esponenziale nella vita reale:

• Valori dei prezzi delle case
• Valori degli investimenti
• Maggiore appartenenza a un popolare sito di social network

Ecco una funzione di crescita esponenziale:

y = un(1 + b)^X

• y: Importo finale rimanente per un periodo di tempo
• un': L'importo originale
• X: Tempo
• Il fattore di crescita è (1 + B).
• La variabile, B, è la variazione percentuale in forma decimale.

Decadimento esponenziale: la variazione che si verifica quando un importo originale viene ridotto di un tasso costante per un periodo di tempo

Decadimento esponenziale nella vita reale:

• Declino dei lettori di giornali
• Declino degli ictus negli Stati Uniti
• Numero di persone che rimangono in una città colpita dall'uragano

Ecco una funzione di decadimento esponenziale:

y = un(1-b)^X

• y: Importo finale rimanente dopo il decadimento per un periodo di tempo
• un': L'importo originale
• X: Tempo
• Il fattore di decadimento è (1-B).
• La variabile, B, è la percentuale di riduzione in forma decimale.

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Questa funzione descrive la crescita esponenziale dell'investimento:

120,000 = un'(1 +.08)⁶

• 120.000: importo finale rimanente dopo 6 anni
• .08: tasso di crescita annuale
• 6: il numero di anni per far crescere l'investimento
• un': L'importo iniziale investito dalla tua famiglia

Suggerimento: Grazie alla proprietà simmetrica dell'uguaglianza, 120.000 = un'(1 +.08)⁶ equivale a un'(1 +.08)⁶ = 120,000. (Proprietà simmetrica dell'uguaglianza: se 10 + 5 = 15, quindi 15 = 10 +5.)

Se preferisci riscrivere l'equazione con la costante, 120.000, a destra dell'equazione, allora fallo.

un'(1 +.08)⁶ = 120,000

Concesso, l'equazione non sembra un'equazione lineare (6un' = $ 120.000), ma è risolvibile. Insisti!

un'(1 +.08)⁶ = 120,000

Fai attenzione: non risolvere questa equazione esponenziale dividendo 120.000 per 6. È una tentazione matematica no-no.

1. Uso Ordine delle operazioni per semplificare.

un'(1 +.08)⁶ = 120,000

un'(1.08)⁶ = 120.000 (parentesi)

un'(1.586874323) = 120.000 (Esponente)

2. Risolvi per divisione

un'(1.586874323) = 120,000

un'(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1un' = 75,620.35523

un' = 75,620.35523

L'importo originale o l'importo che la tua famiglia dovrebbe investire è di circa $ 75.620,36.

3. Congela: non hai ancora finito. Usa l'ordine delle operazioni per controllare la tua risposta.

120,000 = un'(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Parentesi)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (esponente)

120.000 = 120.000 (moltiplicazione)

Ecco alcuni esempi di come risolvere l'importo originale, data la funzione esponenziale:

1. 84 = un'(1+.31)⁷
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   84 = un'(1.31)⁷ (Parentesi)
   84 = un'(6.620626219) (esponente)
   Dividi per risolvere.
   84/6.620626219 = un'(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1un'
   12.68762157 = un'
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Parentesi)
   84 = 12.68762157 (6.620626219) (esponente)
   84 = 84 (moltiplicazione)
2. un'(1 -.65)³ = 56
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   un'(.35)³ = 56 (parentesi)
   un'(.042875) = 56 (Esponente)
   Dividi per risolvere.
   un'(.042875)/.042875 = 56/.042875
   un' = 1,306.122449
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   un'(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (parentesi)
   1.306.122449 (.042875) = 56 (Esponente)
   56 = 56 (Moltiplica)
3. un'(1 + .10)⁵ = 100,000
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   un'(1.10)⁵ = 100.000 (parentesi)
   un'(1.61051) = 100.000 (esponente)
   Dividi per risolvere.
   un'(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   un' = 62,092.13231
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100.000 (parentesi)
   62.092.13231 (1.61051) = 100.000 (esponente)
   100.000 = 100.000 (moltiplicare)
4. 8,200 = un'(1.20)¹⁵
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   8,200 = un'(1.20)¹⁵ (Esponente)
   8,200 = un'(15.40702157)
   Dividi per risolvere.
   8,200/15.40702157 = un'(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1un'
   532.2248665 = un'
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (esponente)
   8.200 = 8200 (Bene, 8.199.9999... Solo un po 'di errore di arrotondamento.) (Moltiplicare.)
5. un'(1 -.33)² = 1,000
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   un'(.67)² = 1.000 (parentesi)
   un'(.4489) = 1,000 (esponente)
   Dividi per risolvere.
   un'(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1un' = 2,227.667632
   un' = 2,227.667632
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1.000 (parentesi)
   2.227.667632 (.4489) = 1.000 (esponente)
   1.000 = 1.000 (Moltiplica)
6. un'(.25)⁴ = 750
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   un'(.00390625) = 750 (Esponente)
   Dividi per risolvere.
   un'(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192.000
   a = 192.000
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750