Come calcolare le quote di Powerball

Powerball è un multistato lotteria questo è abbastanza popolare grazie ai suoi jackpot multimilionari. Alcuni di questi jackpot raggiungono valori che superano di $ 100 milioni. Una ricerca interessante da a probabilistico Il senso è: "Come sono probabilità calcolato sulla probabilità di vincente Powerball?”

Per prima cosa esamineremo le regole di Powerball come è attualmente configurato. Durante ogni disegno, due tamburi pieni di palline vengono accuratamente miscelati e randomizzati. Il primo tamburo contiene palline bianche numerate da 1 a 59. Cinque sono disegnati senza sostituzione da questo tamburo. Il secondo tamburo ha palline rosse che sono numerate da 1 a 35. Uno di questi è disegnato. L'obiettivo è abbinare il maggior numero possibile di questi numeri.

Il jackpot completo viene vinto quando tutti e sei i numeri selezionati da un giocatore corrispondono perfettamente alle palle che vengono pescate. Ci sono premi con valori inferiori per la corrispondenza parziale, per un totale di nove modi diversi per vincere un importo in dollari da Powerball. Questi modi di vincere sono:

• Abbinando tutte e cinque le palle bianche e la palla rossa vince il jackpot del primo premio. Il valore di questo varia a seconda di quanto tempo è passato da quando qualcuno ha vinto questo grande premio.
• La corrispondenza di tutte e cinque le palline bianche ma non quella rossa vince $ 1,000,000.
• Abbinando esattamente quattro delle cinque palle bianche e la palla rossa vince $ 10.000.
• Abbinando esattamente quattro delle cinque palle bianche ma non la palla rossa vince $ 100.
• Abbinando esattamente tre delle cinque palle bianche e la palla rossa vince $ 100.
• Abbinando esattamente tre delle cinque palle bianche ma non la palla rossa vince $ 7.
• Abbinando esattamente due delle cinque palle bianche e la palla rossa vince $ 7.
• Abbinando esattamente una delle cinque palle bianche e la palla rossa vince $ 4.
• Abbinando solo la palla rossa ma nessuna delle palle bianche vince $ 4.

Vedremo come calcolare ciascuna di queste probabilità. Durante questi calcoli, è importante notare che l'ordine di come le palline escono dal tamburo non è importante. L'unica cosa che conta è il set di palline che vengono pescate. Per questo motivo i nostri calcoli comportano combinazioni e non permutazioni.

Utile anche in ogni calcolo di seguito è il numero totale di combinazioni che possono essere disegnate. Abbiamo selezionato cinque tra le 59 palline bianche, oppure usando la notazione per combinazioni, C (59, 5) = 5.006.386 modi perché ciò avvenga. Ci sono 35 modi per selezionare la palla rossa, risultando in 35 x 5.006.386 = 175.223.510 selezioni possibili.

Sebbene il jackpot di abbinare tutte e sei le palline sia il più difficile da ottenere, è la probabilità più facile da calcolare. Tra la moltitudine di 175.223.510 selezioni possibili, c'è esattamente un modo per vincere il jackpot. Quindi la probabilità che un determinato biglietto vinca il jackpot è 1 / 175.223.510.

Per vincere $ 1,000,000 dobbiamo abbinare le cinque palline bianche, ma non quella rossa. C'è solo un modo per abbinare tutti e cinque. Ci sono 34 modi per non abbinare la palla rossa. Quindi la probabilità di vincere $ 1.000.000 è 34 / 175.223.510, o circa 1 / 5.153.633.

Per un premio di $ 10.000, dobbiamo abbinare quattro delle cinque palle bianche e quella rossa. Ci sono C (5,4) = 5 modi per abbinare quattro dei cinque. La quinta palla deve essere una delle restanti 54 che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 1) = 54 modi perché ciò avvenga. C'è solo 1 modo per abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 5 x 54 x 1 = 270 modi per abbinare esattamente quattro palline bianche e quella rossa, dando una probabilità di 270 / 175.223.510, o circa 1 / 648.976.

Un modo per vincere un premio di $ 100 è abbinare quattro delle cinque palline bianche e non quella rossa. Come nel caso precedente, ci sono C (5,4) = 5 modi per abbinare quattro dei cinque. La quinta palla deve essere una delle restanti 54 che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 1) = 54 modi perché ciò avvenga. Questa volta, ci sono 34 modi per non abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 5 x 54 x 34 = 9180 modi per abbinare esattamente quattro palline bianche ma non quella rossa, dando una probabilità di 9180 / 175.223.510, o circa 1 / 19.088.

Un altro modo per vincere un premio di $ 100 è abbinare esattamente tre delle cinque palline bianche e anche quella rossa. Ci sono C (5,3) = 10 modi per abbinare tre dei cinque. Le palle bianche rimanenti devono essere una delle 54 rimanenti che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 2) = 1431 modi perché ciò avvenga. C'è un modo per abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 10 x 1431 x 1 = 14.310 modi per abbinare esattamente tre palline bianche e quella rossa, dando una probabilità di 14.310 / 175.223.510, o circa 1 / 12.245.

Un modo per vincere un premio di $ 7 è quello di abbinare esattamente tre delle cinque palline bianche e non quella rossa. Ci sono C (5,3) = 10 modi per abbinare tre dei cinque. Le palle bianche rimanenti devono essere una delle 54 rimanenti che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 2) = 1431 modi perché ciò avvenga. Questa volta ci sono 34 modi per non abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 10 x 1431 x 34 = 486.540 modi per abbinare esattamente tre palline bianche ma non quella rossa, dando una probabilità di 486.540 / 175.223.510, o circa 1/360.

Un altro modo per vincere un premio di $ 7 è abbinare esattamente due delle cinque palle bianche e anche quella rossa. Ci sono C (5,2) = 10 modi per abbinare due dei cinque. Le palle bianche rimanenti devono essere una delle 54 rimanenti che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 3) = 24.804 modi per farlo. C'è un modo per abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 10 x 24.804 x 1 = 248.040 modi per abbinare esattamente due palle bianche e quella rossa, dando una probabilità di 248.040 / 175.223.510, o circa 1/706.

Un modo per vincere un premio di $ 4 è abbinare esattamente una delle cinque palline bianche e anche quella rossa. Ci sono C (5,4) = 5 modi per abbinare uno dei cinque. Le palle bianche rimanenti devono essere una delle 54 rimanenti che non sono state pescate, e quindi ci sono C (54, 4) = 316.251 modi perché ciò avvenga. C'è un modo per abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 modi per abbinare esattamente una palla bianca e quella rossa, dando una probabilità di 1.581.255 / 175.223.510, o circa 1/111.

Un altro modo per vincere un premio di $ 4 è abbinare nessuna delle cinque palline bianche ma abbinare quella rossa. Ci sono 54 palline che non sono nessuna delle cinque selezionate e abbiamo C (54, 5) = 3.162.510 modi perché ciò avvenga. C'è un modo per abbinare la palla rossa. Ciò significa che ci sono 3.162.510 modi per abbinare nessuna delle palline tranne quella rossa, dando una probabilità di 3.162.510 / 175.223.510, o circa 1/55.

Questo caso è in qualche modo controintuitivo. Ci sono 36 palline rosse, quindi potremmo pensare che la probabilità di abbinarne una sarebbe 1/36. Tuttavia, questo trascura le altre condizioni imposte dalle palline bianche. Molte combinazioni che coinvolgono la palla rossa corretta includono anche partite su alcune delle palle bianche.