Come calcolare le probabilità del backgammon

Il backgammon è un gioco che impiega due dadi standard. I dadi utilizzati in questo gioco sono cubi a sei facce e le facce di un dado hanno uno, due, tre, quattro, cinque o sei semi. Durante un turno di backgammon un giocatore può muovere le sue pedine o le sue bozze in base ai numeri mostrati sui dadi. I numeri ottenuti possono essere divisi tra due pedine oppure possono essere sommati e utilizzati per una singola pedina. Ad esempio, quando un 4 e un 5 vengono lanciati, un giocatore ha due opzioni: può muovere una pedina di quattro spazi e un'altra di cinque spazi, oppure una pedina può essere spostata di un totale di nove spazi.

Per formulare strategie nel backgammon è utile conoscere alcune probabilità di base. Dato che un giocatore può usare uno o due dadi per muovere un particolare pedina, qualsiasi calcolo delle probabilità lo terrà presente. Per le nostre probabilità di backgammon, risponderemo alla domanda "Quando lanciamo due dadi, qual è la probabilità di tirare il numero n come una somma di due dadi o su almeno uno dei due dadi? "

Per un singolo dado che non è caricato, ogni lato ha la stessa probabilità di atterrare a faccia in su. Un singolo dado forma a uniformespazio campione. Ci sono un totale di sei risultati, corrispondenti a ciascuno dei numeri interi da 1 a 6. Quindi ogni numero ha una probabilità di 1/6 di verificarsi.

Quando lanciamo due dadi, ogni dado è indipendente dall'altro. Se teniamo traccia dell'ordine di quale numero si verifica su ciascuno dei dadi, allora ci sono un totale di 6 x 6 = 36 risultati ugualmente probabili. Pertanto 36 è il denominatore di tutte le nostre probabilità e ogni risultato particolare di due dadi ha una probabilità di 1/36.

La probabilità di tirare due dadi e ottenere almeno uno di un numero da 1 a 6 è semplice da calcolare. Se vogliamo determinare la probabilità di tirare almeno un 2 con due dadi, dobbiamo sapere quanti dei 36 possibili risultati includono almeno un 2. I modi per farlo sono:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Quindi ci sono 11 modi per tirare almeno un 2 con due dadi e la probabilità di tirare almeno un 2 con due dadi è 11/36.

Non c'è nulla di speciale riguardo a 2 nella discussione precedente. Per un dato numero n da 1 a 6:

• Ci sono cinque modi per tirare esattamente uno di quel numero sul primo dado.
• Ci sono cinque modi per tirare esattamente uno di quei numeri sul secondo dado.
• C'è un modo per tirare quel numero su entrambi i dadi.

Pertanto ci sono 11 modi per lanciarne almeno uno n da 1 a 6 usando due dadi. La probabilità che ciò accada è 11/36.

Qualsiasi numero da 2 a 12 può essere ottenuto come la somma di due dadi. Il probabilità per due dadi sono leggermente più difficili da calcolare. Poiché esistono diversi modi per raggiungere queste somme, esse non formano uno spazio campione uniforme. Ad esempio, ci sono tre modi per ottenere una somma di quattro: (1, 3), (2, 2), (3, 1), ma solo due modi per ottenere una somma di 11: (5, 6), ( 6, 5).

La probabilità di ottenere una somma di un determinato numero è la seguente:

• La probabilità di ottenere una somma di due è 1/36.
• La probabilità di ottenere una somma di tre è 2/36.
• La probabilità di ottenere una somma di quattro è 3/36.
• La probabilità di ottenere una somma di cinque è 4/36.
• La probabilità di ottenere una somma di sei è 5/36.
• La probabilità di ottenere una somma di sette è 6/36.
• La probabilità di ottenere una somma di otto è 5/36.
• La probabilità di ottenere una somma di nove è 4/36.
• La probabilità di ottenere una somma di dieci è 3/36.
• La probabilità di ottenere una somma di undici è di 2/36.
• La probabilità di ottenere una somma di dodici è 1/36.

Finalmente abbiamo tutto il necessario per calcolare le probabilità di backgammon. Rotolare almeno uno di un numero è si escludono a vicenda dal lancio di questo numero come somma di due dadi. Quindi possiamo usare il regola di aggiunta aggiungere le probabilità insieme per ottenere qualsiasi numero da 2 a 6.

Ad esempio, la probabilità di tirare almeno un 6 su due dadi è 11/36. Tirare un 6 come somma di due dadi è 5/36. La probabilità di tirare almeno un 6 o tirare un sei come somma di due dadi è 11/36 + 5/36 = 16/36. Altre probabilità possono essere calcolate in modo simile.