Probabilità di scegliere casualmente un numero primo

La teoria dei numeri è un ramo di matematica che si occupa dell'insieme di numeri interi. Ci limitiamo in qualche modo a farlo in quanto non studiamo direttamente altri numeri, come le irrazionali. Tuttavia, altri tipi di numeri reali vengono utilizzati. Inoltre, il tema della probabilità ha molte connessioni e intersezioni con la teoria dei numeri. Una di queste connessioni ha a che fare con la distribuzione di numeri primi. Più specificamente, possiamo chiederci, qual è la probabilità che un numero intero scelto casualmente da 1 a X è un numero primo?

Come per qualsiasi problema matematico, è importante capire non solo quali ipotesi vengono fatte, ma anche le definizioni di tutti i termini chiave del problema. Per questo problema stiamo considerando gli interi positivi, ovvero i numeri interi 1, 2, 3,. .. fino a qualche numero X. Stiamo scegliendo casualmente uno di questi numeri, il che significa che tutto X di loro è altrettanto probabile che vengano scelti.

Stiamo cercando di determinare la probabilità che venga scelto un numero primo. Pertanto, dobbiamo comprendere la definizione di un numero primo. Un numero primo è un numero intero positivo che ha esattamente due fattori. Ciò significa che gli unici divisori dei numeri primi sono uno e il numero stesso. Quindi 2,3 e 5 sono numeri primi, ma 4, 8 e 12 non sono primi. Notiamo che poiché ci devono essere due fattori in un numero primo, il numero 1 è non Prime.

La soluzione a questo problema è semplice per i numeri bassi X. Tutto quello che dobbiamo fare è semplicemente contare il numero di numeri primi che sono inferiori o uguali X. Dividiamo il numero di numeri primi minore o uguale a X dal numero X.

Ad esempio, per trovare la probabilità che un numero primo sia selezionato da 1 a 10, è necessario dividere il numero di numeri primi da 1 a 10 per 10. I numeri 2, 3, 5, 7 sono primi, quindi la probabilità che sia selezionato un numero primo è 4/10 = 40%.

La probabilità che un numero primo sia selezionato da 1 a 50 può essere trovata in modo simile. I numeri primi che sono meno di 50 sono: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47. Ci sono 15 numeri primi inferiori o uguali a 50. Quindi la probabilità che un numero primo sia selezionato a caso è 15/50 = 30%.

Questo processo può essere eseguito semplicemente contando i numeri primi fino a quando abbiamo un elenco di numeri primi. Ad esempio, ci sono 25 numeri primi inferiori o uguali a 100. (Pertanto la probabilità che un numero scelto casualmente tra 1 e 100 sia primo è 25/100 = 25%.) Tuttavia, se non abbiamo un elenco di numeri primi, potrebbe essere scoraggiante dal punto di vista computazionale determinare l'insieme di numeri primi che sono inferiori o uguali a un dato numero X.

Se non si dispone di un conteggio del numero di numeri primi che sono inferiori o uguali a X, quindi esiste un modo alternativo per risolvere questo problema. La soluzione comporta un risultato matematico noto come teorema dei numeri primi. Questa è un'affermazione sulla distribuzione complessiva dei numeri primi e può essere utilizzata per approssimare la probabilità che stiamo cercando di determinare.

Il teorema dei numeri primi afferma che ci sono circa X / ln (X) numeri primi che sono inferiori o uguali a X. Here ln (X) indica il logaritmo naturale di Xo, in altre parole, il logaritmo con una base di il numero e. Come il valore di X aumenta l'approssimazione migliora, nel senso che vediamo una diminuzione dell'errore relativo tra il numero di numeri primi inferiore a X e l'espressione X / ln (X).

Possiamo usare il risultato del teorema dei numeri primi per risolvere il problema che stiamo cercando di risolvere. Sappiamo dal teorema dei numeri primi che ci sono circa X / ln (X) numeri primi che sono inferiori o uguali a X. Inoltre, ci sono un totale di X numeri interi positivi inferiori o uguali a X. Pertanto la probabilità che un numero selezionato casualmente in questo intervallo sia primo è (X / ln (X) ) /X = 1 / ln (X).

Ora possiamo usare questo risultato per approssimare la probabilità di selezionare casualmente un numero primo dal primo miliardo interi. Calcoliamo il logaritmo naturale di un miliardo e vediamo che ln (1.000.000.000) è di circa 20,7 e 1 / ln (1.000.000.000) è di circa 0,0483. Quindi abbiamo circa il 4,83% di probabilità di scegliere casualmente un numero primo tra i primi miliardi di numeri interi.