Risolvi equazioni: crescita esponenziale

Le funzioni esponenziali raccontano storie di cambiamenti esplosivi. I due tipi di funzioni esponenziali sono crescita esponenziale e decadimento esponenziale. Quattro variabili - variazione percentuale, tempo, importo all'inizio del periodo di tempo e importo alla fine del periodo di tempo - svolgono ruoli in funzioni esponenziali. Questo articolo si concentra su come utilizzare i problemi di parole per trovare l'importo all'inizio del periodo di tempo, un'.

Crescita esponenziale: il cambiamento che si verifica quando un importo originale viene aumentato di un tasso costante per un periodo di tempo

Usi della crescita esponenziale nella vita reale:

• Valori dei prezzi delle case
• Valori degli investimenti
• Maggiore appartenenza a un popolare sito di social network

Ecco una funzione di crescita esponenziale:

y = un(1 + b)^X

• y: Importo finale rimanente per un periodo di tempo
• un': L'importo originale
• X: Tempo
• Il fattore di crescita è (1 + B).
• La variabile, B, è la variazione percentuale in forma decimale.

Se stai leggendo questo articolo, allora probabilmente sei ambizioso. Tra sei anni, forse vuoi seguire una laurea alla Dream University. Con un prezzo di $ 120.000, la Dream University evoca terrori finanziari notturni. Dopo notti insonni, tu, mamma e papà incontriamo un pianificatore finanziario. Gli occhi iniettati di sangue dei tuoi genitori si chiariscono quando il pianificatore rivela un investimento con un tasso di crescita dell'8% che può aiutare la tua famiglia a raggiungere l'obiettivo di $ 120.000. Studia sodo. Se tu e i tuoi genitori investite $ 75.620,36 oggi, Dream University diventerà la vostra realtà.

Questa funzione descrive la crescita esponenziale dell'investimento:

120,000 = un'(1 +.08)⁶

• 120.000: importo finale rimanente dopo 6 anni
• .08: tasso di crescita annuale
• 6: il numero di anni per far crescere l'investimento
• a: L'importo iniziale che la tua famiglia ha investito

Suggerimento: Grazie alla proprietà simmetrica dell'uguaglianza, 120.000 = un'(1 +.08)⁶ equivale a un'(1 +.08)⁶ = 120,000. (Proprietà simmetrica dell'uguaglianza: se 10 + 5 = 15, quindi 15 = 10 +5.)

Se preferisci riscrivere l'equazione con la costante, 120.000, a destra dell'equazione, allora fallo.

un'(1 +.08)⁶ = 120,000

Concesso, l'equazione non sembra un'equazione lineare (6un' = $ 120.000), ma è risolvibile. Insisti!

un'(1 +.08)⁶ = 120,000

Fai attenzione: non risolvere questa equazione esponenziale dividendo 120.000 per 6. È una tentazione matematica no-no.

1. Uso Ordine delle operazioni per semplificare.

un'(1 +.08)⁶ = 120,000
un'(1.08)⁶ = 120.000 (parentesi)
un'(1.586874323) = 120.000 (Esponente)

2. Risolvi per divisione

un'(1.586874323) = 120,000
un'(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1un' = 75,620.35523
un' = 75,620.35523

L'importo originale da investire è di circa $ 75.620,36.

3. Congela: non hai ancora finito. Usa l'ordine delle operazioni per controllare la tua risposta.

120,000 = un'(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Parentesi)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (esponente)
120.000 = 120.000 (moltiplicazione)

Foglio di lavoro originale

Contadino e amici
Utilizzare le informazioni sul sito di social network dell'agricoltore per rispondere alle domande 1-5.

Un agricoltore ha avviato un sito di social network, farmerandfriends.org, che condivide suggerimenti sul giardinaggio nel cortile. Quando farmerandfriends.org ha permesso ai membri di pubblicare foto e video, l'iscrizione al sito web è cresciuta in modo esponenziale. Ecco una funzione che descrive quella crescita esponenziale.

120,000 = un'(1 + .40)⁶

1. Quante persone appartengono a farmerandfriends.org 6 mesi dopo aver abilitato la condivisione di foto e la condivisione di video? 120.000 persone
   Confronta questa funzione con la funzione di crescita esponenziale originale:
   120,000 = un'(1 + .40)⁶
   y = un'(1 +B)^X
   L'importo originale, y, è 120.000 in questa funzione sui social network.
2. Questa funzione rappresenta crescita esponenziale o decadimento? Questa funzione rappresenta una crescita esponenziale per due motivi. Motivo 1: il paragrafo informativo rivela che "l'appartenenza al sito web è cresciuta in modo esponenziale". Motivo 2: un segno positivo è giusto prima B, la variazione percentuale mensile.
3. Qual è l'aumento o la diminuzione percentuale mensile? L'incremento percentuale mensile è del 40%, 0,4 scritto come percentuale.
4. Quanti membri appartenevano a farmerandfriends.org 6 mesi fa, proprio prima che fossero introdotte la condivisione di foto e la condivisione di video? Circa 15.937 membri
   Utilizzare Ordine delle operazioni per semplificare.
   120,000 = un'(1.40)⁶
   120,000 = un'(7.529536)
   Dividi per risolvere.
   120,000/7.529536 = un'(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1un'
   15,937.23704 = un'
   Utilizzare Ordine delle operazioni per verificare la risposta.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Se queste tendenze continuano, quanti membri apparterranno al sito web 12 mesi dopo l'introduzione della condivisione di foto e video? Circa 903.544 membri
   Collega ciò che sai sulla funzione. Ricorda, questa volta hai un', l'importo originale. Stai risolvendo per y, l'importo rimanente alla fine di un periodo di tempo.
   y = un'(1 + .40)^X
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Usa Ordine delle operazioni per trovare y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203