Test di ipotesi con test t per un campione

Hai raccolto i tuoi dati, hai il tuo modello, hai eseguito la tua regressione e hai ottenuto i tuoi risultati. Ora cosa fai con i tuoi risultati?

In questo articolo consideriamo il modello della legge di Okun e i risultati dell'articolo "Come realizzare un progetto di econometria indolore". Verrà introdotto e utilizzato un campione di t-test per vedere se la teoria corrisponde ai dati.

La teoria alla base della legge di Okun è stata descritta nell'articolo: "Instant Econometrics Project 1 - Okun's Law":

Legge di Okun è una relazione empirica tra la variazione del tasso di disoccupazione e la crescita percentuale della produzione reale, misurata dal PNL. Arthur Okun ha stimato la seguente relazione tra i due:

Y_t = - 0.4 (X_t - 2.5 )

Questo può anche essere espresso come una regressione lineare più tradizionale come:

Y_t = 1 - 0,4 X_t

Dove:
Y_t è la variazione del tasso di disoccupazione in punti percentuali.
X_t è il tasso di crescita percentuale nella produzione reale, misurato dal PIL reale.

Quindi la nostra teoria è che i valori dei nostri parametri sono

Abbiamo usato i dati americani per vedere quanto i dati corrispondessero alla teoria. A partire dal "Come realizzare un progetto di econometria indolore"abbiamo visto che dovevamo stimare il modello:

Utilizzando Microsoft Excel, abbiamo calcolato i parametri b₁ e B₂. Ora dobbiamo vedere se quei parametri corrispondono alla nostra teoria, che era quella B₁ = 1 e B₂ = -0.4. Prima di poterlo fare, dobbiamo annotare alcune cifre che Excel ci ha fornito. Se guardi lo screenshot dei risultati noterai che i valori mancano. Era intenzionale, poiché voglio che tu calcoli i valori da solo. Ai fini di questo articolo, creerò alcuni valori e ti mostrerò in quali celle puoi trovare i valori reali. Prima di iniziare il nostro test di ipotesi, dobbiamo annotare i seguenti valori:

• Numero di osservazioni (cella B8) Obs = 219

• Coefficiente (cella B17) B₁ = 0.47 (appare sul grafico come "AAA")
  Errore standard (cella C17) SE₁ = 0.23 (appare sul grafico come "CCC")
  t Stat (cella D17) t₁ = 2.0435 (appare sul grafico come "x")
  Valore P (cella E17) p₁ = 0.0422 (appare sul grafico come "x")

• Coefficiente (cella B18) B₂ = - 0.31 (appare sul grafico come "BBB")
  Errore standard (cella C18) SE₂ = 0.03 (appare sul grafico come "DDD")
  t Stat (cella D18) t₂ = 10.333 (appare sul grafico come "x")
  Valore P (cella E18) p₂ = 0.0001 (appare sul grafico come "x")

Nella prossima sezione esamineremo il test delle ipotesi e vedremo se i nostri dati corrispondono alla nostra teoria.

Accertarsi di continuare alla pagina 2 di "Test di ipotesi utilizzando test t per un campione".

Innanzitutto considereremo la nostra ipotesi che la variabile di intercettazione sia uguale a una. L'idea alla base è spiegata abbastanza bene in quella del Gujarati Elementi essenziali di econometria. A pagina 105 Gujarati descrive il test di ipotesi:

• “[S] per noi porre come ipotesi quello il vero B₁ assume un particolare valore numerico, ad es. B₁ = 1. Il nostro compito ora è "testare" questa ipotesi. " linguaggio di ipotesi che verifica un'ipotesi come B₁ = 1 è chiamato il ipotesi nulla ed è generalmente indicato dal simbolo H₀. così H₀: B₁ = 1. L'ipotesi nulla è di solito testata contro un ipotesi alternativa, indicato dal simbolo H₁. L'ipotesi alternativa può assumere una delle tre forme:
  H₁: B₁ > 1, che si chiama a unilaterale ipotesi alternativa, o
  H₁: B₁ < 1, anche un unilaterale ipotesi alternativa, o
  H₁: B₁ non uguale a 1, che si chiama a due lati ipotesi alternativa. Questo è il vero valore è maggiore o minore di 1. "

In quanto sopra ho sostituito la nostra ipotesi con Gujarati per renderlo più facile da seguire. Nel nostro caso vogliamo un'ipotesi alternativa su due lati, poiché siamo interessati a sapere se B₁ è uguale a 1 o non uguale a 1.

La prima cosa che dobbiamo fare per testare la nostra ipotesi è calcolare alla statistica t-Test. La teoria alla base della statistica va oltre lo scopo di questo articolo. In sostanza quello che stiamo facendo è calcolare una statistica che può essere testata rispetto a una distribuzione t per determinare quanto sia probabile che il vero valore del coefficiente sia uguale ad alcuni ipotizzati valore. Quando la nostra ipotesi è B₁ = 1 denotiamo la nostra statistica t come t₁(B₁=1) e può essere calcolato con la formula:

t₁(B₁= 1) = (b₁ - B₁ / se₁)

Proviamo questo per i nostri dati di intercettazione. Ricordiamo che avevamo i seguenti dati:

• B₁ = 0.47
  SE₁ = 0.23

La nostra statistica t per l'ipotesi che B₁ = 1 è semplicemente:

t₁(B₁=1) = (0.47 – 1) / 0.23 = 2.0435

Così t₁(B₁=1) è 2.0435. Possiamo anche calcolare il nostro test t per l'ipotesi che la variabile di pendenza sia uguale a -0,4:

• B₂ = -0.31
  SE₂ = 0.03

La nostra statistica t per l'ipotesi che B₂ = -0.4 è semplicemente:

t₂(B₂= -0.4) = ((-0.31) – (-0.4)) / 0.23 = 3.0000

Così t₂(B₂= -0.4) è 3.0000. Quindi dobbiamo convertirli in valori p. Il valore p "può essere definito come livello di significatività più basso in cui un'ipotesi nulla può essere respinta... Di norma, più piccolo è il valore p, più forte è l'evidenza contro l'ipotesi nulla. "(Gujarati, 113) Come un regola empirica standard, se il valore p è inferiore a 0,05, rifiutiamo l'ipotesi nulla e accettiamo l'alternativa ipotesi. Ciò significa che se il valore p associato al test t₁(B₁=1) è inferiore a 0,05 rifiutiamo l'ipotesi che B₁=1 e accetta l'ipotesi che B₁ non uguale a 1. Se il valore p associato è uguale o maggiore di 0,05, facciamo esattamente il contrario, ovvero accettiamo l'ipotesi nulla che B₁=1.

Sfortunatamente, non è possibile calcolare il valore p. Per ottenere un valore p, generalmente è necessario cercarlo in un grafico. La maggior parte dei libri di statistica ed econometria standard contengono un grafico del valore p sul retro del libro. Fortunatamente con l'avvento di Internet, esiste un modo molto più semplice di ottenere valori p. Il sito Graphpad Quickcalcs: un test t di esempio consente di ottenere rapidamente e facilmente valori p. Utilizzando questo sito, ecco come ottenere un valore p per ciascun test.

Passaggi necessari per stimare un valore p per B₁=1

• Fare clic sulla casella radio contenente "Enter mean, SEM and N." La media è il valore del parametro che abbiamo stimato, SEM è l'errore standard e N è il numero di osservazioni.
• accedere 0.47 nella casella etichettata "Mean:".
• accedere 0.23 nella casella etichettata "SEM:"
• accedere 219 nella casella etichettata "N:", poiché questo è il numero di osservazioni che abbiamo avuto.
• Sotto "3. Specifica il valore medio ipotetico "fai clic sul pulsante di opzione accanto alla casella vuota. In quella casella entra 1, poiché questa è la nostra ipotesi.
• Fai clic su "Calcola ora"

Dovresti ottenere una pagina di output. Nella parte superiore della pagina di output dovresti vedere le seguenti informazioni:

• Valore P e significato statistico:
  Il valore P a due code è uguale a 0,0221
  Secondo criteri convenzionali, questa differenza è considerata statisticamente significativa.

Quindi il nostro valore p è 0,0221, che è inferiore a 0,05. In questo caso, rifiutiamo la nostra ipotesi nulla e accettiamo la nostra ipotesi alternativa. Nelle nostre parole, per questo parametro, la nostra teoria non corrispondeva ai dati.

Accertarsi di continuare alla pagina 3 di "Test di ipotesi mediante test t per un campione".

Ancora una volta utilizzando il sito Graphpad Quickcalcs: un test t di esempio possiamo ottenere rapidamente il valore p per il nostro secondo test di ipotesi:

Passaggi necessari per stimare a p-value per B₂= -0.4

• Fare clic sulla casella radio contenente "Immettere media, SEM e N." Media è il valore del parametro che abbiamo stimato, SEM è l'errore standard e N è il numero di osservazioni.
• accedere -0.31 nella casella etichettata "Mean:".
• accedere 0.03 nella casella etichettata "SEM:"
• accedere 219 nella casella etichettata "N:", poiché questo è il numero di osservazioni che abbiamo avuto.
• Sotto "3. Specifica il valore medio ipotetico "fai clic sul pulsante di opzione accanto alla casella vuota. In quella casella entra -0.4, poiché questa è la nostra ipotesi.
• Fai clic su "Calcola ora"

• Valore P e significato statistico: Il valore P a due code è uguale a 0,0030
  Secondo criteri convenzionali, questa differenza è considerata statisticamente significativa.

Abbiamo usato i dati statunitensi per stimare il modello della legge di Okun. Usando questi dati abbiamo scoperto che sia i parametri di intercettazione che quelli di pendenza sono statisticamente significativamente diversi da quelli della Legge di Okun. Pertanto possiamo concludere che negli Stati Uniti la legge di Okun non vale.

Ora hai visto come calcolare e utilizzare i test t di un campione, sarai in grado di interpretare i numeri che hai calcolato nella tua regressione.

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