Utilizzo delle funzioni di utilità Quasiconcave in economia

"Quasiconcave" è un concetto matematico che ha diverse applicazioni in economia. Per comprendere il significato delle applicazioni del termine in economia, è utile iniziare con una breve considerazione delle origini e del significato del termine in matematica.

Il termine "quasiconcave" è stato introdotto nella prima parte del 20 ° secolo nell'opera di John von Neumann, Werner Fenchel e Bruno de Finetti, tutti importanti matematici con interessi sia in matematica teorica che applicata, la loro ricerca in campi come la teoria della probabilità, la teoria dei giochi e la topologia alla fine gettò le basi per un campo di ricerca indipendente noto come "convessità generalizzata". Mentre il termine "quasiconcave: ha applicazioni in molte aree, Compreso economia, ha origine nel campo della convessità generalizzata come concetto topologico.

La breve e comprensibile spiegazione della topologia del professor Robert Bruner del professore di matematica di Wayne inizia con la comprensione che la topologia è una forma speciale di

Sembra un po 'strano, ma considera che se fai un cerchio e inizi a schiacciare da quattro direzioni, con un'attenta compressione puoi produrre un quadrato. Pertanto, un quadrato e un cerchio sono topologicamente equivalenti. Allo stesso modo, se pieghi un lato di un triangolo fino a quando non hai creato un altro angolo da qualche parte lungo quel lato, con più flessione, spinta e trazione, puoi trasformare un triangolo in un quadrato. Ancora una volta, un triangolo e un quadrato sono topologicamente equivalenti.

Quasiconcave è una proprietà topologica che include la concavità. Se si rappresenta graficamente una funzione matematica e il grafico assomiglia più o meno a una ciotola mal fatta con alcuni dossi al suo interno, ma ha ancora una depressione al centro e due estremità che si inclinano verso l'alto, che è una funzione quasiconcave.

Si scopre che una funzione concava è solo un'istanza specifica di una funzione quasiconcave, una senza i dossi. Dal punto di vista di un laico (un matematico ha un modo più rigoroso di esprimerlo), una funzione quasiconcave include tutte le funzioni concave e anche tutte le funzioni che sono complessivamente concava ma che possono avere sezioni effettivamente convesso. Ancora una volta, immagina una ciotola mal fatta con alcuni dossi e sporgenze.

Un modo di rappresentare matematicamente le preferenze dei consumatori (così come molti altri comportamenti) è con a funzione utile. Se, ad esempio, i consumatori preferiscono il bene A al buono B, la funzione di utilità U esprime tale preferenza come:

U (A)> U (B)

Se rappresenti questa funzione per un insieme di consumatori e beni nel mondo reale, potresti scoprire che il grafico assomiglia un po 'a una ciotola, piuttosto che una linea retta, c'è un abbassamento nel mezzo. Questo abbassamento generalmente rappresenta l'avversione dei consumatori al rischio. Ancora una volta, nel mondo reale, questa avversione non è coerente: il grafico delle preferenze dei consumatori assomiglia un po 'a una ciotola imperfetta, con una serie di dossi. Invece di essere concavo, quindi, è generalmente concavo, ma non perfettamente in ogni punto del grafico, che può avere sezioni minori di convessità.

In altre parole, il nostro grafico di esempio delle preferenze del consumatore (proprio come molti esempi del mondo reale) è quasiconcave. Dicono a chiunque voglia saperne di più sul comportamento del consumatore - economisti e società che vendono beni di consumo, ad esempio - dove e come i clienti rispondono ai cambiamenti di buoni importi o costi.